Diskretna metoda najmanjih kvadrata

master's thesis

• Title (english): Discrete least squares method
• Author: Korina Kovačević
• Mentor: Ivana Šain Glibić (mentor)
• Committee member: Zlatko Drmač (predsjednik povjerenstva)
• Committee member: Goran Muić (član povjerenstva)
• Committee member: Vanja Wagner (član povjerenstva)
• Committee member: Ivica Nakić (član povjerenstva)
• Granter: University of Zagreb; Faculty of Science; (Department of Mathematics); Zagreb
• Defense date and country: 2023-03-06, Croatia
• Scientific / art field, discipline and subdiscipline: NATURAL SCIENCES; Mathematics

Abstract

Diskretna metoda najmanjih kvadrata statistička je metoda koju koristimo za određivanje koeficijenata aproksimacijske funkcije kada je poznata vrijednost realne funkcije \(f\) u točkama \(t_1, \ldots , t_n\) definirane na skupu \(T \in \R\) koju želimo aproksimirati funkcijom \(\varphi\) na tom skupu. U radu promatramo slučaj kada je funkcija \(\varphi\) linearna, tj. \(\varphi(t) = x_1 \varphi_o(t) + \ldots + x_m \varphi_m (t) \) pri čemu su \(\varphi_1, \ldots , \varphi_m\) poznate funkcije. Čvorova aproksimacije je više nego nepoznatih parametara aproksimacijske funkcije pa rješavamo preodređen sustav na način da minimiziramo euklidsku normu vektora pogrešaka u čvorovima aproksimacije \(t_1, \ldots , t_n\). Točnije, tražimo nepoznate parametre \(x_1, \ldots, x_m\) takve da vrijedi \(\sum_{k=0}^n (f(t_k) - \varphi(t_k))^2 \rightarrow \operatorname{min}\). Ako zapišemo ovaj sustav u matričnom obliku, dobije se sustav \(Ax=b\) uz \(a_{kj}= \varphi_j(t_k) \) i \(b_k = y_k = \sum_{j=1}^m x_j \varphi_j (t_k) \) za \(k=1, \ldots, n\), \(j= 1, \ldots, m\). Objasnit ćemo kako se ovaj sustav numerički rješava na četiri načina, tj. pomoću sustava normalnih jednadžbi, transformacije u linerani sustav većih dimenzija, QR faktorizaicije i dekompozicije singularne vrijednosti. U radu ćemo na dva primjera primijeniti navedene metode. U prvom primjeru procijenjuje se vrijednost CROBEX indeksa s pet dionica koje imaju najveću težinu. U drugom primjeru pokazat ćemo nedostatke metoda u slučaju kada je matrica \(A\) loše uvjetovana i nema puni stupčani rang.

• Keywords: statistička metoda; koeficijenat aproksimacijske funkcije; euklidska norma vektora pogrešaka; sustav normalnih jednadžbi; transformacija u linerani sustav većih dimenzija; QR faktorizaicija; dekompozicija singularne vrijednosti
• Keywords (english): statistical method; approximation function coefficient; Euclidean norm of error vector; system of normal equations; transformation into a linear system of larger dimensions; QR factorization; singular value decomposition
• Language: croatian
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:253679
• Study programme: Title: Finance and Business Mathematics; Study programme type: university; Study level: graduate; Academic / professional title: magistar/magistra matematike (magistar/magistra matematike)
• Type of resource: Text
• File origin: Born digital
• Access conditions: Open access
• Created on: 2023-07-26 08:58:29