Metoda bisekcije za simetrični svojstveni problem

master's thesis

• Title (english): Bisection method for symmetric eigenvalue problem
• Author: Tomislav Beljan
• Mentor: Nela Bosner (mentor)
• Committee member: Nela Bosner (predsjednik povjerenstva)
• Committee member: Ivica Nakić (član povjerenstva)
• Committee member: Sonja Štimac (član povjerenstva)
• Committee member: Maja Resman (član povjerenstva)
• Granter: University of Zagreb; Faculty of Science; (Department of Mathematics); Zagreb
• Defense date and country: 2024-07-18, Croatia
• Scientific / art field, discipline and subdiscipline: NATURAL SCIENCES; Mathematics

Abstract

Tema ovog rada je metoda bisekcije primijenjena na simetrični svojstveni problem. Iako se u prvotnom obliku koristi za pronalaženje nultočki neprekidne funkcije, u ovom radu smo primijenili metodu na pronalaženje svojstvenih vrijednosti realne simetrične matrice. Simetričnu matricu smo prvo sveli na tridijagonalni oblik, a zatim razvili metode koje koriste tridijagonalnu strukturu za brzo rješavanje problema. Rad je podijeljen u četiri poglavlja. U prvom poglavlju uvodimo neke osnovne pojmove i rezultate vezane uz simetrični svojstveni problem. U drugom poglavlju razvijamo dva algoritma za pronalaženje svojstvenih vrijednosti realne tridijagonalne matrice. Prvi algoritam pronalazi sve svojstvene vrijednosti u nekom unaprijed zadanom intervalu, dok drugi algoritam pronalazi \(k\)-tu najveću svojstvenu vrijednost matrice. U trećem poglavlju se bavimo računanjem svojstvenog vektora pridruženog ranije izračunatoj svojstvenoj vrijednosti. Za računanje svojstvenog vektora se koristi metoda inverznih iteracija. U zadnjem poglavlju iznosimo neke rezultate koji dobivamo primjenom navedenih algoritama.

Abstract (english)

The topic of this thesis is the bisection method applied to the symmetric eigenvalue problem. Although the bisection method is originally used to find the roots of a continuous function, in this paper we use the bisection method to find eigenvalues of a real symmetric matrix. We first reduce the symmetric matrix to tridiagonal form, and then develop methods that utilize the tridiagonal structure for efficient problem solving. The thesis is divided into four chapters. In the first chapter, we introduce some basic concepts and results related to the symmetric eigenvalue problem. In the second chapter, we develop two algorithms for finding eigenvalues of a real tridiagonal matrix. The first algorithm identifies all eigenvalues within a specified interval, while the second algorithm finds the \(k\)-th largest eigenvalue of the matrix. In the third chapter, we address the computation of the corresponding eigenvector for previously computed eigenvalues. The method of inverse iteration is used to compute this eigenvector. In the final chapter, we present some results obtained by applying the aforementioned algorithms.

• Keywords: realna simetrična matrica; tridijagonalna matrica; metoda inverznih iteracija
• Language: croatian
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:346411
• Study programme: Title: Applied Mathematics; Study programme type: university; Study level: graduate; Academic / professional title: sveučilišni magistar matematike (sveučilišni magistar matematike)
• Type of resource: Text
• File origin: Born digital
• Access conditions: Open access
• Created on: 2024-07-24 10:38:06