Diofantski problemi sa sumama djelitelja

doctoral thesis

• Title (english): Diophantine problems with sums of divisors
• Author: Sanda Bujačić Babić
• Mentor: Andrej Dujella (mentor)
• Committee member: Borka Jadrijević (predsjednik povjerenstva)
• Committee member: Andrej Dujella (član povjerenstva)
• Committee member: Zrinka Franušić (član povjerenstva)
• Granter: University of Zagreb; Faculty of Science; (Department of Mathematics); Zagreb
• Defense date and country: 2014-12-18, Croatia
• Scientific / art field, discipline and subdiscipline: NATURAL SCIENCES; Mathematics
• Universal decimal classification (UDC): 51 - Mathematics

Abstract

Ayad i Luca su dokazali da ne postoji neparan prirodan broj $n>1$ i dva pozitivna djelitelja $d_{1},(d_{2}$ od $(n^{2}+1)/2$ takvi da vrijedi $d_{1}+d_{2}=n+1$. Dujella i Luca promatraju općenitiji problem, gdje je linearni polinom $n+1$ koji je suma djelitelja $d_{1}$ i $d_{2}$ zamijenjen proizvoljnim linearnim polinomom $\delta n+\varepsilon$, gdje su koeficijenti $\delta$ i $\varepsilon$ cijeli brojevi i $\delta > 0$. Budući je broj $(n^{2}+1)/2$ neparan te... More brojevi $d_{1}, d_{2}$ dijele sumu kvadrata dva relativno prosta broja, za brojeve $d_{1}, d_{2}$ vrijedi $d_{1}, d_{2} \equiv 1 \pmod{4}$. Dujella i Luca su se fokusirali na slučaj u kojem su koeficijenti $\delta, \varepsilon$ linearnog polinoma neparni brojevi. U ovom radu promatramo drugi slučaj, odnosno slučaj u kojem su koeficijenti linearnog polinoma parni brojevi. Preciznije, u jednom slučaju vrijedi $\delta \equiv 0 \pmod{4}$ i $\varepsilon \equiv 2 \pmod{4}$, a u drugom vrijedi $\delta \equiv 2 \pmod{4}$ i $\varepsilon \equiv 0 \pmod{4}$ . U radu promatramo slučajeve kad je jedan od koeficijenata $\delta, \varepsilon$ fiksiran, odnosno u potpunosti rješavamo slučajeve $\delta=2, \varepsilon = 4, \varepsilon = 0$. Dokazujemo da za $\varepsilon \equiv 0 \pmod{4}$ postoji beskonačno mnogo neparnih prirodnih brojeva n za koje postoji par djelitelja $d_{1}, d_{2}$ od $(n^{2}+1)/2$ takvih da vrijedi $d_{1}+d_{2}=2n+\varepsilon$ te dokazujemo i analogan rezultat za slučaj kad je $\varepsilon \equiv 2 \pmod{4}$ i djelitelji $d_{1}, d_{2}$ od $(n^{2}+1)/2$ takvi da vrijedi $d_{1}+d_{2}=4n+\varepsilon$. U slučaju kad je vodeći koeficijent oblika $\delta=4k+2, k \in \mathbb{N}$, dokazujemo da ne postoji neparan prirodan broj n sa svojstvom da postoji par pozitivnih djelitelja $d_{1}, d_{2}$ od $(n^{2}+1)/2$ takvih da je $d_{1}+d_{2}=\delta n$. S druge strane, dokazujemo i da postoji beskonačno mnogo neparnih prirodnih brojeva n za koje postoji par djelitelja $d_{1}, d_{2}$ od $(n^{2}+1)/2$ takvih da vrijedi $d_{1}+d_{2}=2n$. Nadalje, promatramo i slučaj u kojem jednoparametarske familije koeficijenata nisu fiksirane, ali su koeficijenti međusobno povezani. Dokazujemo da postoji beskonačno mnogo neparnih prirodnih brojeva n za koje postoji par djelitelja $d_{1}, d_{2}$ od $(n^{2}+1)/2$ takvih da vrijedi $d_{1}+d_{2}=\delta n+(\delta +2)$. Također promatramo i jednoparametarsku familiju koeficijenata za koju vrijedi $\varepsilon =\delta -2$ i za nju dokazujemo analogan rezultat, odnosno da postoji beskonačno mnogo neparnih prirodnih brojeva n za koje postoji par djelitelja $d_{1}, d_{2}$ od $(n^{2}+1)/2$ takvih da vrijedi $d_{1}+d_{2}=\delta n+(\delta -2), \delta \equiv {4,6} \pmod{8}$. U posljednjem poglavlju rada promatramo verziju Subbaraove kongruencije oblika $n\varphi(n) \equiv 2 \pmod{\sigma(n)}$, gdje je $\varphi$ Eulerova, a $\sigma$ funkcija sume djelitelja prirodnog broja n. Dujella i Luca su promatrali navedenu kongruenciju i dokazali da postoji samo konačno mnogo prirodnih brojeva n koji je zadovoljavaju i čiji su prosti faktori elementi konačnog i fiksiranog skupa. U radu ispitujemo koji prirodni brojevi čiji su prosti faktori elementi skupa $\{2, 5\}$, odnosno koji su oblika $n=2^{\alpha}5^{\beta}$, $\alpha, \beta \geq{0}$, zadovoljavaju navedenu verziju Subbaraove kongruencije. Dokazano je da su jedini takvi prirodni brojevi n brojevi n = 1, 2, 5, 8. Less

Abstract (english)

Ayad and Luca have proved that there does not exist an odd integer $n > 1$ and two positive divisors $d_{1}, d_{2}$ of $(n^{2}+1)/2$ such that $d_{1}+d_{2}=n+1$. Dujella and Luca have dealt with a more general issue, where $n + 1$ was replaced with an arbitrary linear polynomial $\delta n+\varepsilon$, where $\delta > 0$ and $\varepsilon$ are given integers. The reason that $d_{1}$ and $d_{2}$ are congruent to 1 modulo 4 comes from the fact that $(n^{2}+1)/2$... More is odd and is a sum of two coprime squares ${((n+1)/2)}^2+{((n-1)/2)}^2$. Such numbers have the property that all their prime factors are congruent to 1 modulo 4. Since $d_{1}+d_{2}=\delta n+ \varepsilon$, then there are two cases: it is either $\delta \equiv \varepsilon \equiv 1 \pmod{2}$, or $\delta \equiv \varepsilon +2 \equiv 0$ or $2 \pmod{4}$. Dujella and Luca have focused on the first case. We deal with the second case, the case where $\delta \equiv \varepsilon +2 \equiv 0$ or $2 \pmod{4}$. We completely solve cases when $\delta =2, \delta =4$ and $\varepsilon =0$. We prove that there exist infinitely many positive odd integers n with the property that there exists a pair of positive divisors $d_{1}, d_{2}$ of $(n^{2}+1)/2$ such that $d_{1}+d_{2}=2n+ \varepsilon$ for $\varepsilon \equiv 0 \pmod{4}$ and we prove an analogous result for $\varepsilon \equiv 2 \pmod{4}$ and divisors $d_{1},d_{2}$ of $(n^{2}+1)/2$ such that $d_{1}+d_{2}=4n+ \varepsilon$. In the case when $\delta \geq{6}$ is a positive integer of the form $\delta =4k+2, k \in \mathbb{N}$ we prove that there does not exist an odd integer n such that there exists a pair of divisors $d_{1},d_{2}$ of $(n^{2}+1)/2$ with the property $d_{1}+d_{2}=\delta n$. We also prove that there exist infinitely many odd integers n with the property that there exists a pair of positive divisors $d_{1},d_{2}$ of $(n^{2}+1)/2$ such that $d_{1}+d_{2}=2n$. The second part of the doctoral thesis deals with the similar problem or, more specifically, it deals with one-parametric families of coefficients $\delta$ , $\varepsilon$. We prove that there exist infinitely many odd integers n with the property that there exists a pair of positive divisors $d_{1},d_{2}$ of $(n^{2}+1)/2$ such that $d_{1}+d_{2}=\delta n+(\delta +2)$. We also prove that there exist infinitely many odd integers n with the property that there exists a pair of positive divisors $d_{1}, d_{2}$ of $(n^{2}+1)/2$ such that $d_{1}+d_{2}=\delta n+(\delta -2),\delta \equiv{4,6} \pmod{8}$. The third part of the doctoral thesis deals with the version of Subbarao’s congruence, or, more precisely, with the congruence of the form $n\varphi(n) \equiv 2 \pmod{\sigma(n)}$, where $\varphi(n)$ is Euler’s totient function and $\sigma(n)$ is sum of divisors of n. Dujella and Luca have proved that there exist only finitely many integers n whose prime factors belong to a fixed finite set and satisfy the congruence. We prove that the only integers of the form $n=2^{\alpha}5^{\beta}, \alpha, \beta \geq{0}$, that satisfy that congruence are integers n = 1, 2, 5, 8. Less

• Keywords: funkcija sume djelitelja; verižni razlomci; Pellova jednadžba; Legendreov simbol; Eulerova funkcija; Subbaraova kongruencija
• Keywords (english): sum of divisors; continued fractions; Pell’s equations; Legendre symbol; Euler’s function; Totient function; Subbarao’s congruence
• Language: croatian
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:971358
• Study programme: Title: Mathematics; Study programme type: university; Study level: postgraduate; Academic / professional title: doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika (doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika)
• Type of resource: Text
• Extent: ii, 99 str.
• File origin: Born digital
• Access conditions: Open access
• Created on: 2019-03-07 11:21:05