Modeli modularnih krivulja, modularne forme i $\eta$-kvocijenti

doctoral thesis

• Author: Iva Kodrnja
• Mentor: Goran Muić (mentor)
• Committee member: Matija Kazalicki (predsjednik povjerenstva)
• Committee member: Ivica Gusić (član povjerenstva)
• Committee member: Goran Muić (član povjerenstva)
• Granter: University of Zagreb; Faculty of Science; (Department of Mathematics); Zagreb
• Defense date and country: 2016-07-08, Croatia
• Scientific / art field, discipline and subdiscipline: NATURAL SCIENCES; Mathematics
• Universal decimal classification (UDC): 51 - Mathematics

Abstract

Neka je $\Gamma$ modularna grupa, odnosno podgrupa konačnog indeksa u $SL_2(\mathbb{Z})$. Ona djeluje na gornju kompleksnu poluravninu linearnim frakcionalnim transformacijama. Kada pogledamo kvocijent gornje poluravnine po tom djelovanju, dobivamo skup $X(\Gamma)$ na kojem se može definirati struktura glatke Riemannove plohe. On se još dodatno kompaktificira dodavanjem kuspova - elemenata skupa proširenih realnih brojeva koji su jedinstvene fiksne točke nekog elementa iz $\Gamma$. Skup... More $X(\Gamma)$ sastoji se od orbita elemenata skupa gornje poluravnine i klasa neekvivalentnih kuspova. Skup $X(\Gamma)$ nazivamo modularna krivulja. Za grupu $\Gamma_0(N)$ taj kvocijent označavamo $X_0(N)$ i nazivamo glavna modularna krivulja. Promatra se sljedeće preslikavanje - elementu modularne krivulje $X(\Gamma)$ pridružena je točka projektivne ravnine $(f(z) : g(z) : h(z))$, gdje su $f, g$ i $h$ neke tri linearno nezavisne modularne forme za promatranu modularnu grupu $\Gamma$ parne težine veće ili jednake 2. Ovo preslikavanje je u stvari preslikavanje definirano meromorfnim funkcijama $1, g/f$ i $h/f$ i to je preslikavanje holomorfno. Dokazana je formula koja veže stupanj preslikavanja i stupanj slike. Ukoliko je stupanj preslikavanja jednak 1, dobivena ravninska projektivna krivulja je model početne modularne krivulje. Iz formule se izvodi test kojim se provjerava da li je preslikavanje biracionalna ekvivalencija tako da se izračunaju sve vrijednosti izuzev stupnja preslikavanja. Računanje se razdvaja u dva smjera. Prvi se odnosi na računanje divizora modularnih formi. Za računanje divizora prvo je potrebno odrediti kuspove te treba znati Fourierove razvoje modularnih forme u kuspovima. Opisani su kuspovi na kongruencijskim podgrupama te izračunani divizori formi $\Delta$, Eisensteinovog reda $E_4^3$ te $\eta$-kvocijenata na kongruencijskog podgrupi $\Gamma_0(N)$. Drugi smjer bavi se izračunom stupnja dobivene krivulje. U tu svrhu razvijen je algoritam koji provjerava stupanj dobivene krivulje i nalazi jednadžbu dobivene krivulje. Stupanj krivulje je povezan s rangom matrice koeficijenta homogenog sustava dobivenog iz činjenice da je homogena linearna kombinacija modularnih formi ponovo modularna forma te da određen broj početnih članova u Fourierovom razvoju modularne forme mora iščezavati da bi forma bila nul-forma (takozvana Sturmova ocjena, a za kongruencijske podgrupe slijedi iz formule valencije). Algoritam se bazira na tvrdnjama iz algebarske geometrije (Hilbertov teorem o nulama), linearne algebre te teorije modularnih formi. $\eta$-kvocijenti su klasa modularnih formi dobivenih iz Dedekindove $\eta$-funkcije množenjem i skaliranjem. Uz određene uvjete ove su funkcije modularne forme na $\Gamma_0(N)$. Vrlo su pogodne za računanje jer postoji formula za red u kuspu te je jednostavno izračunati divizor. Imaju cjelobrojne koeficijente u Fourierovom razvoju. Nađeni su $\eta$-kvocijenti težina 2, 4, 6 i 12 na $\Gamma_0(p)$, za prost broj $p$ i gledana preslikavanja u projektivnu ravninu. Posebno gledamo preslikavanje s $X_0(N)$ definirano s $\Delta, E_4^3$ i $\Delta_N$. Određeni su oni $\eta$-kvocijenti težine 12 koji imaju nulu maksimalnog redu u kuspu $\infty$ te pomoću njih konstruirani modeli krivulja $X_0(N)$. Less

Abstract (english)

Modular group $\Gamma$ is a subgroup of $SL_2(\mathbb{Z})$ of finite index. A modular group acts on the complex upper half plane by linear fractional transfomations. Quotient of this action is a set $X(\Gamma)$ which is compactified by adding cusps. Cusps are real numbers or $\infty$ which are fixed by some parabolic element in $\Gamma$. On the set $X(\Gamma)$ we can define complex structure so it becomes a compact Riemann surface. The set $X(\Gamma)$ is called a modular curve... More and it consists of orbits of elements of the upper half plane and classes of nonequivalent cusps. If $\Gamma$ is the congruence subgroup $\Gamma_0(N)$, then this quotient is denoted $X_0(N)$. We observe the following mapping - an element of the modular curve $X(\Gamma)$ is mapped into a point in the projective plane using three linearly independent modular forms of some even weight greater or equal to 2. This mapping is holomorphic. We prove a formula which connects the degree of the map and the degree of the image curve. If the degree of the map equals 1, then the image curve is a model of the modular curve $X(\Gamma)$. From the formula we can check whether the map is birational equivalence by computing all values except the degree of the map. There are two directions in calculations. On one hand, we need to calculate the divisors of the modular forms. We describe the cusps of congruence subgroups and calculate the divisors of the Ramanujan delta function $\Delta$, Eisenstein series $E_4$ and various $\eta$-quotients with regard to the group $\Gamma_0(N)$. On the other hand, we calculate the degree of the image curve. We develop an algorithm which calculates this degree and the defining polynomial. The degree is connected to the rank of a matrix of the coefficients of a homogeneous system of equations. The system is obtained from the fact that a finite number of coefficient in the Fourier expansion of a modular form must be equal to zero if a form is zero. This finite number of coefficients is calculated from the Sturm bound. The algorithm is based on the Hilbert zero theorem, linear algebra and the theory of modular forms. A class of modular forms called $\eta$-quotients are obtained by multiplication and scaling from the Dedekind $\eta$-function. Under certain assumptions, these functions are modular forms on $\Gamma_0(N)$. There is a formula for the divisor of an $\eta$-quotient and they have integral Fourier expansions. We search for $\eta$-quotients on $\Gamma_0(p)$ for a prime $p$ and create mappings with these functions. We observe the map from $X_0(N)$ defined with $\Delta, E_4^3$ and $\Delta_N$. We determine those $\eta$-quotients that have the zero of the maximal order at the cusp $\infty$ and use these functions to create models of $X_0(N)$. Less

• Keywords: kompaktne Riemannove plohe; modularne grupe; modularne krivulje; modularne forme; divizori modularnih formi; η-kvocijenti; eta-kvocijenti; $\eta$-kvocijenti
• Keywords (english): compact Riemann surface; modular group; modular curve; modular form; divisor of modular form; eta-quotients; η-quotients; $\eta$-quotients
• Language: croatian
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:697341
• Study programme: Title: Mathematics; Study programme type: university; Study level: postgraduate; Academic / professional title: doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika (doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika)
• Type of resource: Text
• Extent: VII, 115 str.
• File origin: Born digital
• Access conditions: Access restricted to students and staff of home institution
• Created on: 2019-03-14 12:17:18