Estimates for homogenous Fourier multipliers and multiparameter maximal Fourier restriction

doctoral thesis

• Title (croatian): Ocjene za homogene Fourierove multiplikatore i višeparametarsku maksimalnu Fourierovu restrikciju
• Author: Aleksandar Bulj
• Mentor: Vjekoslav Kovač (mentor)
• Committee member: Rudi Mrazović (predsjednik povjerenstva)
• Committee member: Kristina Ana Škreb (član povjerenstva)
• Committee member: Vjekoslav Kovač (član povjerenstva)
• Committee member: Hrvoje Šikić (član povjerenstva)
• Granter: University of Zagreb; Faculty of Science; (Department of Mathematics); Zagreb
• Defense date and country: 2023-12-08, Croatia
• Scientific / art field, discipline and subdiscipline: NATURAL SCIENCES; Mathematics
• Universal decimal classification (UDC): 51 - Mathematics

Abstract

The thesis studies two problems in harmonic analysis – sharp estimates for the norms of the powers of multipliers associated with unimodular homogeneous symbols and the multi-parameter maximal Fourier restriction. In the first part, it proves asymptotically sharp estimates for the norms of multipliers associated with unimodular homogeneous symbols of degree 0 and shows that the powers of a generic multiplier in that class exhibit asymptotically maximal order of growth. As a consequence, it disproves Maz’ya’s conjecture regarding the asymptotically sharp estimates of such multipliers in all dimensions and solves the problem posed by Dragičević, Petermichl, and Volberg concerning the sharp lower estimate of a certain multiplier falling within the mentioned class. In the second part, the thesis generalizes the Christ–Kiselev lemma for maximal operators to its multi-parameter version. As a consequence, it solves the multi-parameter maximal Fourier restriction problem in all dimensions, a result that was known only in two dimensions from the work of Müller, Ricci and Wright and proves the multiparameter version of the Menshov–Paley–Zygmund theorem for the multi-dimensional Fourier transform.

Abstract (croatian)

Disertacija se bavi proučavanjem dvaju problema u harmonijskoj analizi – problemom strogih ocjena normi potencija multiplikatora pridruženih unimodularnim homogenim simbolima i problemom višeparametarske Fourierove restrikcije. U prvom se dijelu dokazuju asimptotski stroge ocjene za norme potencija multiplikatora pridruženih unimodularnim homogenim simbolima reda 0 i dokazuje se da potencije generičkog multiplikatora u navedenoj klasi imaju asimptotski maksimalan rast. Posljedično, to opovrgava Maz’yinu slutnju o asimptotski strogim ocjenama normi takvih multiplikatora i odgovara na pitanje Dragičevića, Petermichl i Volberga vezano uz stroge donje ocjene za konkretni multiplikator u navedenoj klasi. U drugom se dijelu generalizira lema Christa i Kiseleva za maksimalne operatore na višeparametarsku varijantu, posljedično rješava problem višeparametarske maksimalne Fourierove restrikcije u svim dimenzijama, koji je prije ove disertacije bio poznat samo u dvije dimenzije iz rada Müllera, Riccija i Wrighta, te dokazuje višeparametarsku verziju Menshov–Paley–Zygmundovog teorema za višedimenzionalnu Fourierovu transformaciju. Disertacija je organizirana na sljedeći način. U uvodnom poglavlju (“Introduction”) čitatelja se uvodi u kontekst problema kojima se disertacija bavi i navode se poznati rezultati. U poglavlju 1 (“Preliminaries”) uvodi se notacija i prezentira kratak uvod u poznate rezultate koji će biti korišteni u dokazima u nastavku. U poglavlju 2 (“Powers of homogeneous unimodular multipliers”), koje je bazirano na radu [8], dokazuju se gornje ocjene za norme Fourierovih multiplikatora pridruženih unimodularnim homogenim simbolima reda 0 i pokazuje se da su ocjene stroge u parnim dimenzijama, čime se posljedično opovrgava Maz’yina slutnja u parnim dimenzijama. U nastavku se dokazuju stroge donje ocjene za multiplikator iz rada Dragičevića, Petermichl i Volberga i odgovara na njihovo pitanje. U poglavlju 3 (“Norm growth of powers of unimodular multipliers is a generic property”), koje je bazirano na radu [6], dokazuje se da je gornja ocjena dokazana u prethodnom poglavlju optimalna za generički multiplikator u svim dimenzijama većim ili jednakim dva i posljedično opovrgava Maz’yina slutnja u svim dimenzijama. U poglavlju 4 (“Multi-parameter maximal Fourier restriction”), koje je bazirano na radu [7], generalizira se lema Christa i Kiseleva za maksimalne operatore na višeparametarsku varijantu, posljedično se rješava problem višeparametarske Fourierove restrikcije u svim dimenzijama i dokazuje se višeparametarska verzija Menshov–Paley–Zygmundovog teorema za Fourierovu transformaciju u više dimenzija.

• Keywords: Fourier multipliers; singular integrals; Fourier restriction; maximal estimates
• Keywords (croatian): Fourierovi multiplikatori; singularni integrali; Fourierova restrikcija; maksimalne ocjene
• Language: english
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:065797
• Study programme: Title: Doctoral study; Study programme type: university; Study level: postgraduate; Academic / professional title: doktor/doktorica u području prirodnih znanosti (doktor/doktorica u području prirodnih znanosti)
• Type of resource: Text
• Extent: vi, 95 str.
• File origin: Born digital
• Access conditions: Open access
• Created on: 2024-01-25 09:30:06