Title Classification of boundary conditions for Freidrichs systems Title (croatian) Klasifikacija rubnih uvjeta za Fridrichsove sustave Author Soni Sandeep Kumar Mentor Nenad Antonić (mentor)Mentor Marko Erceg (komentor)Committee member Krešimir Burazin (predsjednik povjerenstva)Committee member Marko Vrdoljak (član povjerenstva)Committee member Boris Muha (član povjerenstva)Committee member Mario Bukal (član povjerenstva)Granter University of Zagreb Defense date and country 2024-04-16, Croatia Scientific / art field, NATURAL SCIENCES Universal decimal classificationUDC ) 51 - Mathematics Abstract This work is concerned with the classification of boundary conditions for the classical Friedrichs systems by developing new results on abstract Friedrichs operators. The concept of the classical Friedrichs system was introduced by Friedrichs in 1958 as a symmetric positive system of first-order linear partial differential equations. The main motivation was to treat the equations that change their type, like the Tricomi equation (which appears in the transonic flow). Moreover, it allows a unified treatment of a wide variety of elliptic, parabolic, hyperbolic and mixed-type equations. On the other hand, the theory of abstract Friedrichs operators was introduced in 2007, which is formulated in terms of Hilbert space theory. Further development of this theory on a purely operator-theoretic approach allows us to work beyond the realm of partial differential operators. We derive a von Neumann decomposition-type formula for the graph space of abstract Friedrichs operators. This decomposition ensures that the classification of all boundary conditions depends (only) on the kernels of the adjoint operators. We recognise the potential connection between the theory of abstract Friedrichs operators and symmetric operators. By representing an abstract Friedrichs operator as the sum of a skew-symmetric and a bounded self-adjoint operator with a strictly positive bottom, we introduce a vonNeumann extension theory for abstract Friedrichs operators, enabling a comprehensive classification of boundary conditions—a distinct approach from the general Grubb extension theory. Furthermore, we present a complete classification of boundary conditions for classical Friedrichs operators in the one-dimensional case. This classification involves an explicit formulation of the boundary operator, depending on the coefficient matrix. We argue using total projections and prove a result that relates the dimensions of the kernels to the rank of the coefficient matrix at the endpoints of the interval. We illustrate the theory on a second order ordinary differential equation. Non-stationary theory for Friedrichs operators using semigroup theory is studied at the end. It turns out that a wide class of boundary conditions for a given pair of abstract Friedrichs operators gives rise to the generators of contractive \(C_0\)−semigroups. A subclass of these boundary conditions is related to the skew-selfadjoint extensions of the skew-symmetric operators. The boundary quadruple approach is used to give another classification of these special types of boundary conditions.
Abstract (croatian) Ovaj rad proučava klasifikaciju rubnih uvjeta za klasične Friedrichsove sustave razvijajući nove rezultate o apstraktnim Friedrichsovim operatorima. Pojam klasičnog Friedrichsovog sustava uveo je Friedrichs 1958. godine kao simetrični pozitivan sustav linearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Glavna motivacija bila je tretirati jednadžbe koje mijenjaju svoj tip, poput Tricomijeve jednadžbe (koja se pojavljuje pri opisu toka kod prijelaza brzine zvuka). To omogućuje objedinjeni pristup širokom rasponu eliptičnih, paraboličnih, hiperboličnih i jednadžbi mješovitog tipa. Teorija apstraktnih Friedrichsovih operatora uvedena je 2007. godine, a formulirana je u terminima teorije Hilbertovih prostora. Daljnji razvoj ove teorije čisto operatorskim pristupom omogućuje nam istraživanje izvan područja parcijalnih diferencijalnih operatora. U radu je prepoznata povezanost teorije apstraktnih Friedrichsovih operatora i simetričnih operatora. Naime, reprezentiranjem apstraktnih Friedrichsovih operatora kao zbroja antisimetričnog i ograničenog pozitivnog hermitskog operatora, dobivamo formulu za rastav prostor grafa apstraktnih Friedrichsovih operatora von-Neumannovog tipa. Ovaj rastav osigurava da klasifikacija svih rubnih uvjeta ovisi (samo) o jezgrama adjunigiranih operatora. Uvođenjem teorije von-Neumannovog proširenja za apstraktne Friedrichsove operatore, omogućujuje se sveobuhvatna klasifikacija rubnih uvjeta – pristup koji se razlikuje od opće Grubbine teorije proširenja. Nadalje, prezentiramo potpunu klasifikaciju rubnih uvjeta za klasične Friedrichsove operatore u jednodimenzionalnom slučaju. Ova klasifikacija uključuje eksplicitnu formulaciju rubnog operatora, ovisno o matričnom koeficijentu. Dokaz se temelji na korištenju ukupne projekcije (u terminu projekcije na svojstvene potprostore) i dokazujemo rezultat koji povezuje dimenzije jezgara s rangom matričnog koeficijenta na rubovima intervala. Tu teoriju ilustriramo na običnim diferencijalnim jednadžbama drugog reda. Na kraju se proučava nestacionarna teorija za Friedrichsove operatore koristeći teoriju ´ polugrupa. Pokazuje se da širok spektar rubnih uvjeta za dani par apstraktnih Friedrichsovih operatora dovodi do generatora kontrakcijske \(C_0\)−polugrupe. Štoviše, pokazana je povezanost tih rubnih uvjeta s antihermitskim proširenjima antisimetričnih operatora. Recentni pristup s rubnim četvorkama koristi se za alternativnu klasifikaciju ovog posebnog tipa rubnih uvjeta. Rad je organiziran kako slijedi: Čitatelja se upoznaje u Uvodu s teorijom Friedrichsovih sustava, gdje je dan i kratki pregled rezultata koji su obrađeni u ostatku Rada. Poglavlje 1 sadrži osnove teorije klasičnih Friedrichsovih operatora. Sažeti su osnovni rezultati teorije dobre postavljenosti zajedno s primjerima klasičnih Friedrichsovih operatora. Nadalje, raspravljaju se različiti načini zadavanja rubnih uvjeta. Poglavlje 2 uvodi apstraktne Friedrichsove operatore zajedno s njihovom formulacijom u terminima teorije Hilbertovih prostora. Naglasak je stavljen na teoriju dobre postavljenosti koristeći tzv. konusni formalizam koji je uveden u [39]. Također se diskutiraju rezultati o višestrukosti i klasifikaciji koristeći teoriju Kreınovih prostora (vidi [3, 9]). Na kraju ovog poglavlja proučavaju se odabrani primjeri od interesa. Poglavlje 3 uvodi novu karakterizaciju apstraktnih Friedrichsovih operatora u terminima zbroja antisimetričnog i pozitivnog hermitskog operatora. Izvodi se dekompozicija prostora grafa apstraktnih Friedrichsovih operatora von Neumannovog tipa. Poglavlje se zaključuje proučavanjem klasifikacije rubnih uvjeta u duhu teorije von Neumanna o proširenjima, te pripadnom poveznicom s teorijom za simetrične operatore. U poglavlje 4 se primjenjuju dobiveni rezultati prethodnog poglavlja na Friedrichsove sustave na intervalu. Pretpostavke u vezi s koeficijentima prilično su općenite i obuhvaćaju situacije koje uključuju singularne jednadžbe (ili sustave). Pruža se potpuna klasifikacija rubnih uvjeta za skalarni slučaj. Analizira se i vektorski slučaj, gdje se dokazuje rezultat koji povezuje jezgre pripadnih maksimalnih operatora sa svojstvenim vrijednostima matričnih koeficijenata na rubovima intervala. Poglavlje 5 se fokusira na nestacionarnu teoriju apstraktnih Friedrichsovih operatora. Preciznije, dokazuje se da bijektivne realizacije apstraktnih Friedrichsovih operatora s rubnim preslikavanjem s predznakom, kao i odgovarajuće realizacije antisimetričnih dijelova, daju generatore kontrakcijskih \(C_0\)−polugrupa, te da su to jedine realizacije s takvim svojstvom. Rezultati su povezani s novouvedenom teorijom rubnih četvorki za antisimetrične opratore [10].
Keywords
symmetric positive first-order systems of partial differential equations
non-selfadjoint operators
extension theory of closed operators
dual pairs
indefinite inner product space
perturbation of matrices
C_0−semigroup
Keywords (croatian)
simetrični pozitivni sustav parcijalnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda
nehermitski operator
teorija proširenja zatvorenih operatora
dualni par
prostor indefinitnog skalarnog produkta
perturbacija matrice
C_0−polugrupa.
Language english URN:NBN urn:nbn:hr:217:417931 Project Number: IP-2018-01-2449 Study programme Title: Doctoral study Type of resource Text Extent ix, 156 str. File origin Born digital Access conditions Open access Terms of use Created on 2024-05-21 10:22:19
