Algebarski pristup iterativnim metodama tangente i sekante

master's thesis

• Author: Marko Sačić
• Mentor: Juraj Šiftar (mentor)
• Committee member: Juraj Šiftar (predsjednik povjerenstva)
• Committee member: Josip Tambača (član povjerenstva)
• Committee member: Mladen Vuković (član povjerenstva)
• Committee member: Bojan Basrak (član povjerenstva)
• Granter: University of Zagreb; Faculty of Science; (Department of Mathematics); Zagreb
• Defense date and country: 2016-02-25, Croatia
• Scientific / art field, discipline and subdiscipline: NATURAL SCIENCES; Mathematics

Abstract

U ovom diplomskom radu izložen je jedan algebarski pristup poznatim iterativnim metodama za izračunavanje nultočaka realnih funkcija, odnosno u drukčijoj formulaciji, određivanje fiksnih točaka funkcije. Primjena metode sekante interpretira se kao binarna operacija \(\oplus\) na proširenom skupu realnih brojeva \(\overline{\mathbb{R}}\). Razmatraju se moguća algebarska svojstva operacije \(\oplus\) te se pokušavaju naći šire klase funkcija za koje je pripadna operacija asocijativna. Primjenom glasovitog Pascalovog teorema o šesterovrhu upisanom krivulji drugog reda dokazuje se asocijativnost operacije \(\oplus\) za jednu klasu racionalnih funkcija čime se dobiva potpuni analogon početnom primjeru za iterativno određivanje vrijednosti Zlatnog reza različitim metodama: iteracijama niza \(m(x)=1+ \frac{1}{x}\) odnosno nizovima dobivenim primjenom metoda tangente i sekante na polinom \(f(x) = x^2-x-1\). Nadalje, Möbiusove transformacije također pružaju zanimljivo poopćenje tog početnog primjera pri čemu iteracije konvergiraju prema korijenu karakterističnog polinoma Möbiusove transformacije. Navodi se niz primjera koji ilustriraju kako neke dobro poznate operacije poput zbrajanja točaka na eliptičkim krivuljama, relativističkog zbrajanja brzina, zbrajanja otpora serijski ili paralelno spojenih otpornika pa i standardno zbrajanje i množenje realnih brojeva predstavljaju posebne slučajeve binarne operacije \(\oplus\) uz odgovarajući izbor početne funkcije \(f\). Na taj način uočavaju se dublje veze između nekih poznatih rezultata i metoda iz matematičke analize, algebre, geometrije i fizike.

Abstract (english)

In this thesis we present an algebraic approach to some well known iterative methods for calculating roots of real functions or in a different formulation, finding fixed points of functions. The use of the secant method is interpreted as a binary operation \(\oplus\) on the extended set of real numbers \(\overline{\mathbb{R}}\). We consider possible algebraic properties of operation \(\oplus\) and try to find some classes of functions for which this operation is associative. Applying Pascal’s famous Hexagrammum Mysticum Theorem we prove the associativity of operation \(\oplus\) for a class of rational functions and to obtain an analogue of the initial example of determing the value of the Golden Mean by various iterative methods: a sequence of iterations of function \(m(x)=1+ \frac{1}{x}\) and sequences we get by using tangent method and secant method on polynomial \(f(x) = x^2-x-1\). Furthermore, Möbius transformations also provide interesting generalization of the initial example where iterations converge to the root of the characteristic polynomial of the Möbius transformation. We list a variety of examples that illustrate how some well known operations such as the group law on elliptic curves, the velocity addition law of special relativity, the addition of electric resistances in parallel and in series and also the standard addition and multiplication of real numbers are special cases of binary operation \(\oplus\) with an appropriate choice of initial \(f\).

• Keywords: iterativne metode za izračunavanje nultočaka realnih funkcija; Möbiusove transformacije; Pascalov teorem o šesterovrhu upisanom krivulji drugog reda
• Keywords (english): iterative methods for calculating roots of real functions; Möbius transformations; Pascal’s famous Hexagrammum Mysticum Theorem
• Language: croatian
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:650177
• Study programme: Title: Mathematics and Computer Science Education; specializations in: Mathematics and Computer Science Education; Course: Mathematics and Computer Science Education; Study programme type: university; Study level: graduate; Academic / professional title: magistar/magistra edukacije matematike i informatike (magistar/magistra edukacije matematike i informatike)
• Type of resource: Text
• File origin: Born digital
• Access conditions: Open access
• Created on: 2019-02-06 13:41:51