| Abstract | Ayad i Luca su dokazali da ne postoji neparan prirodan broj \(n>1\) i dva pozitivna djelitelja \(d_{1},(d_{2}\) od \((n^{2}+1)/2\) takvi da vrijedi \(d_{1}+d_{2}=n+1\). Dujella i Luca promatraju općenitiji problem, gdje je linearni polinom \(n+1\) koji je suma djelitelja \(d_{1}\) i \(d_{2}\) zamijenjen proizvoljnim linearnim polinomom \(\delta n+\varepsilon\), gdje su koeficijenti \(\delta\) i \(\varepsilon\) cijeli brojevi i \(\delta > 0\). Budući je broj \((n^{2}+1)/2\) neparan te brojevi \(d_{1}, d_{2}\) dijele sumu kvadrata dva relativno prosta broja, za brojeve \(d_{1}, d_{2}\) vrijedi \(d_{1}, d_{2} \equiv 1 \pmod{4}\). Dujella i Luca su se fokusirali na slučaj u kojem su koeficijenti \(\delta, \varepsilon\) linearnog polinoma neparni brojevi. U ovom radu promatramo drugi slučaj, odnosno slučaj u kojem su koeficijenti linearnog polinoma parni brojevi. Preciznije, u jednom slučaju vrijedi \(\delta \equiv 0 \pmod{4}\) i \(\varepsilon \equiv 2 \pmod{4}\), a u drugom vrijedi \(\delta \equiv 2 \pmod{4}\) i \(\varepsilon \equiv 0 \pmod{4}\) . U radu promatramo slučajeve kad je jedan od koeficijenata \(\delta, \varepsilon\) fiksiran, odnosno u potpunosti rješavamo slučajeve \(\delta=2, \varepsilon = 4, \varepsilon = 0\). Dokazujemo da za \(\varepsilon \equiv 0 \pmod{4}\) postoji beskonačno mnogo neparnih prirodnih brojeva n za koje postoji par djelitelja \(d_{1}, d_{2}\) od \((n^{2}+1)/2\) takvih da vrijedi \(d_{1}+d_{2}=2n+\varepsilon\) te dokazujemo i analogan rezultat za slučaj kad je \(\varepsilon \equiv 2 \pmod{4}\) i djelitelji \(d_{1}, d_{2}\) od \((n^{2}+1)/2\) takvi da vrijedi \(d_{1}+d_{2}=4n+\varepsilon\). U slučaju kad je vodeći koeficijent oblika \(\delta=4k+2, k \in \mathbb{N}\), dokazujemo da ne postoji neparan prirodan broj n sa svojstvom da postoji par pozitivnih djelitelja \(d_{1}, d_{2}\) od \((n^{2}+1)/2\) takvih da je \(d_{1}+d_{2}=\delta n\). S druge strane, dokazujemo i da postoji beskonačno mnogo neparnih prirodnih brojeva n za koje postoji par djelitelja \(d_{1}, d_{2}\) od \((n^{2}+1)/2\) takvih da vrijedi \(d_{1}+d_{2}=2n\). Nadalje, promatramo i slučaj u kojem jednoparametarske familije koeficijenata nisu fiksirane, ali su koeficijenti međusobno povezani. Dokazujemo da postoji beskonačno mnogo neparnih prirodnih brojeva n za koje postoji par djelitelja \(d_{1}, d_{2}\) od \((n^{2}+1)/2\) takvih da vrijedi \(d_{1}+d_{2}=\delta n+(\delta +2)\). Također promatramo i jednoparametarsku familiju koeficijenata za koju vrijedi \(\varepsilon =\delta -2\) i za nju dokazujemo analogan rezultat, odnosno da postoji beskonačno mnogo neparnih prirodnih brojeva n za koje postoji par djelitelja \(d_{1}, d_{2}\) od \((n^{2}+1)/2\) takvih da vrijedi \(d_{1}+d_{2}=\delta n+(\delta -2), \delta \equiv {4,6} \pmod{8}\). U posljednjem poglavlju rada promatramo verziju Subbaraove kongruencije oblika \(n\varphi(n) \equiv 2 \pmod{\sigma(n)}\), gdje je \(\varphi\) Eulerova, a \(\sigma\) funkcija sume djelitelja prirodnog broja n. Dujella i Luca su promatrali navedenu kongruenciju i dokazali da postoji samo konačno mnogo prirodnih brojeva n koji je zadovoljavaju i čiji su prosti faktori elementi konačnog i fiksiranog skupa. U radu ispitujemo koji prirodni brojevi čiji su prosti faktori elementi skupa \(\{2, 5\}\), odnosno koji su oblika \(n=2^{\alpha}5^{\beta}\), \(\alpha, \beta \geq{0}\), zadovoljavaju navedenu verziju Subbaraove kongruencije. Dokazano je da su jedini takvi prirodni brojevi n brojevi n = 1, 2, 5, 8. |
| Abstract (english) | Ayad and Luca have proved that there does not exist an odd integer \(n > 1\) and two positive divisors \(d_{1}, d_{2}\) of \((n^{2}+1)/2\) such that \(d_{1}+d_{2}=n+1\). Dujella and Luca have dealt with a more general issue, where \(n + 1\) was replaced with an arbitrary linear polynomial \(\delta n+\varepsilon\), where \(\delta > 0\) and \(\varepsilon\) are given integers. The reason that \(d_{1}\) and \(d_{2}\) are congruent to 1 modulo 4 comes from the fact that \((n^{2}+1)/2\) is odd and is a sum of two coprime squares \({((n+1)/2)}^2+{((n-1)/2)}^2\). Such numbers have the property that all their prime factors are congruent to 1 modulo 4. Since \(d_{1}+d_{2}=\delta n+ \varepsilon\), then there are two cases: it is either \(\delta \equiv \varepsilon \equiv 1 \pmod{2}\), or \(\delta \equiv \varepsilon +2 \equiv 0\) or \(2 \pmod{4}\). Dujella and Luca have focused on the first case. We deal with the second case, the case where \(\delta \equiv \varepsilon +2 \equiv 0\) or \(2 \pmod{4}\). We completely solve cases when \(\delta =2, \delta =4\) and \(\varepsilon =0\). We prove that there exist infinitely many positive odd integers n with the property that there exists a pair of positive divisors \(d_{1}, d_{2}\) of \((n^{2}+1)/2\) such that \(d_{1}+d_{2}=2n+ \varepsilon\) for \(\varepsilon \equiv 0 \pmod{4}\) and we prove an analogous result for \(\varepsilon \equiv 2 \pmod{4}\) and divisors \(d_{1},d_{2}\) of \((n^{2}+1)/2\) such that \(d_{1}+d_{2}=4n+ \varepsilon\). In the case when \(\delta \geq{6}\) is a positive integer of the form \(\delta =4k+2, k \in \mathbb{N}\) we prove that there does not exist an odd integer n such that there exists a pair of divisors \(d_{1},d_{2}\) of \((n^{2}+1)/2\) with the property \(d_{1}+d_{2}=\delta n\). We also prove that there exist infinitely many odd integers n with the property that there exists a pair of positive divisors \(d_{1},d_{2}\) of \((n^{2}+1)/2\) such that \(d_{1}+d_{2}=2n\). The second part of the doctoral thesis deals with the similar problem or, more specifically, it deals with one-parametric families of coefficients \(\delta\) , \(\varepsilon\). We prove that there exist infinitely many odd integers n with the property that there exists a pair of positive divisors \(d_{1},d_{2}\) of \((n^{2}+1)/2\) such that \(d_{1}+d_{2}=\delta n+(\delta +2)\). We also prove that there exist infinitely many odd integers n with the property that there exists a pair of positive divisors \(d_{1}, d_{2}\) of \((n^{2}+1)/2\) such that \(d_{1}+d_{2}=\delta n+(\delta -2),\delta \equiv{4,6} \pmod{8}\). The third part of the doctoral thesis deals with the version of Subbarao’s congruence, or, more precisely, with the congruence of the form \(n\varphi(n) \equiv 2 \pmod{\sigma(n)}\), where \(\varphi(n)\) is Euler’s totient function and \(\sigma(n)\) is sum of divisors of n. Dujella and Luca have proved that there exist only finitely many integers n whose prime factors belong to a fixed finite set and satisfy the congruence. We prove that the only integers of the form \(n=2^{\alpha}5^{\beta}, \alpha, \beta \geq{0}\), that satisfy that congruence are integers n = 1, 2, 5, 8. |
