Title Point processes in the analysis of dependent data Title (croatian) Točkovni procesi u analizi zavisnih podataka Author Hrvoje Planinić Mentor Bojan Basrak (mentor)Mentor Zoran Vondraček (komentor)Committee member Hrvoje Šikić (predsjednik povjerenstva)Committee member Thomas Mikosch (član povjerenstva)19907310 Committee member Philippe Soulier (član povjerenstva)210999306 Granter University of Zagreb Defense date and country 2019-01-17, Croatia Scientific / art field, NATURAL SCIENCES Universal decimal classificationUDC ) 51 - Mathematics Abstract For a stationary, regularly varying and weakly dependent \(\mathbb{R}\)–valued time series \((X_i)_{i \in \mathbb{Z}}\), the language of point processes offers a nice probabilistic way to deduce the distribution of various functionals of the sample \(X_1, \dots , X_n\) as \(n \to \infty\). This includes functionals whose behavior for large \(n\) essentially depends only on extreme \(X_i\)’s. The main idea is to establish a so–called complete convergence result, that is convergence of point processes \(\Sigma_{i=1}^n \delta_{(i/n,X_i/a_n)}\) for a suitable sequence \((a_n)\) and then apply continuous mapping arguments. In this context, the limiting point process is a Poisson cluster process which can be fully described by the so–called tail process of \((X_i)\). However, in this type of point process convergence the information on the temporal order of extreme \(X_i\)’s belonging to the same cluster is lost in the limit due to scaling of time. As one of the main contributions of the thesis, we present a new type of complete convergence result which preserves this kind of information. It applies to stationary regularly varying time series satisfying standard extremal dependence assumptions. Our approach is based on dividing the sample \(X_1, \dots , X_n\) into smaller blocks and then considering these blocks, instead of only individual \(X_i\)’s, as points of a point process on a certain infinite–dimensional Polish space. Along the way, we revisit the notion of vague convergence of measures relying on an abstract theory of bounded sets and discuss general Poisson approximation theory for point processes on Polish spaces. The order preserving convergence allows us to prove new limit results for record times and partial sums of the underlying time series. In particular, we show that rescaled record times, under an additional assumption, converge in distribution to a certain scale invariant compound Poisson process. This extends the well known result in the i.i.d. case. Furthermore, when the index of regular variation is in the interval (0, 2), we obtain a new functional limit theorem for partial sums which applies to a variety of time series for which standard convergence in the space of càdlàg functions cannot hold. The main novelty is that the convergence is placed in the larger space of so–called decorated càdlàg functions equipped with an extension of Skorohod’s \(M_2\) topology. Corollaries of this result are discussed. Finally, we use the language of stationary regularly varying random fields to revisit the well known problem of local alignment of sequences. For that purpose, we extend the notion of the tail process and the corresponding point process convergence theory to \(\mathbb{R}\)–valued random fields indexed over \(d\)–dimensional integer lattice. In the course of this extension we introduce the concept of anchoring which further clarifies the link between the tail process and the asymptotic distribution of a cluster of extremes.
Abstract (croatian) Za stacionaran vremenski niz \((X_i)_{i \in \mathbb{Z}}\) s vrijednostima u \(\mathbb{R}\) kaže se da je regularno varirajući ako su mu sve konačno–dimenzionalne distribucije višedimenzionalno regularno varirajuće. To svojstvo ekvivalentno je postojanju takozvanog repnog procesa pomoću kojeg se na intuitivan način mogu opisati ekstremalna svojstva tog vremenskog niza. Za takav niz, uz pretpostavku slabe zavisnosti, teorija točkovnih procesa nudi lijep vjerojatnosni pristup za određivanje distribucije raznih funkcionala uzorka \(X_1, \dots , X_n\) kada \(n \to \infty\). Tu spadaju funkcionali čije ponašanje za velike n u principu ovisi samo o ekstremnim vrijednostima niza \(X_i\). Glavna ideja je prvo pokazati konvergenciju točkovnih procesa \(\Sigma_{i=1}^n \delta_{(i/n,X_i/a_n)}\) za prikladan niz \((a_n)\) te na nju primijeniti takozvane tehnike neprekidnih preslikavanja. Budući da iz te iste točkovne konvergencije možemo odrediti ponašanje puno različitih funkcionala, takvu konvergenciju često zovemo potpuna točkovna konvergencija. Nadalje, u ovom kontekstu granični točkovni proces je Poissonov proces s klasterima koji je potpuno određen repnim procesom niza \(X_i\). Ipak, u ovom obliku potpune točkovne konvergencije, zbog skaliranja vremena, u limesu se gubi informacija o vremenskom poretku ekstremnih observacija koje su dio istog klastera. Jedan od glavnih doprinosa ove teze je predstavljanje novog oblika potpune točkovne konvergencije koji čuva ovaj poredak. On vrijedi za stacionarne regularno varirajuće vremenske nizove uz standardne pretpostavke o ekstremalnoj zavisnosti. Naš pristup baziran je na dijeljenju uzorka \(X_1, \dots , X_n\) na manje blokove i tretiranjem tih blokova, umjesto pojedinačnih observacija, kao točaka točkovnog procesa na određenom beskonačno–dimenzionalnom poljskom prostoru. Usput, dajemo alternativan pristup takozvanoj vague konvergenciji mjera koristeći apstraktnu teoriju ograničenih skupova i diskutiramo generalne uvjete pod kojima određeni točkovni procesi na poljskim prostorima konvergiraju po distribuciji prema Poissonovom procesu. Potpuna točkovna konvergencija koja čuva poredak omogućava nam da pokažemo nove granične rezultate za vremena rekorda i parcijalne sume vremenskog niza u pozadini. Točnije, pokazujemo da reskalirana vremena rekorda, uz dodatnu pretpostavku na repni proces niza, konvergiraju po distribuciji prema određenom složenom Poissonovom procesu koji je invarijantan na skaliranje. Ovo poopćuje poznati rezultat u slučaju niza nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli. Nadalje, kada je indeks regularne varijacije u intervalu (0, 2), pokazujemo novi funkcionalni granični teorem za parcijalne sume koji je primjenjiv na velik broj vremenskih nizova za koje standardna konvergencija u prostoru càdlàg funkcija ne može vrijediti. Glavna novina je da se konvergencija gleda u većem prostoru takozvanih dekoriranih càdlàg funkcija uz topologiju koja je ekstenzija Skorohodove \(M_2\) topologije. Također, diskutiramo i korolare ovog rezultata. Na kraju, koristimo jezik stacionarnih regularno varirajućih slučajnih polja kako bi dali novi uvid u klasični problem lokalnog poravnanja dvaju nizova znakova. U tu svrhu, proširujemo pojam repnog procesa i teoriju potpune točkovne konvergencije na slučajna polja sa skupom indeksa \(\mathbb{Z}^d\). U sklopu te ekstenzije predstavljamo ideju usidrenja koja dodatno razjašnjuje vezu između repnog procesa i granične distribucije klastera ekstremnih observacija.
Keywords
Vague convergence
Point process
Poisson approximation
Regular variation
Time series
Stationarity
Tail process
Complete convergence result
Functional limit theorem
Record times
Random fields
Local sequence alignment
Keywords (croatian)
Vague konvergencija
Točkovni proces
Poissonova aproksimacija
Regularna varijacija
Vremenski niz
Stacionarnost
Repni proces
Potpuna točkovna konvergencija
Funkcionalni granični teorem
Vremena rekorda
Slučajna polje
Lokalno poravnanje nizova
Language english URN:NBN urn:nbn:hr:217:327141 Study programme Title: Mathematics Type of resource Text Extent viii, 109 str. File origin Born digital Access conditions Open access Terms of use Created on 2019-03-21 10:17:35
