Modeli financijskih tržišta na konačnim vjerojatnosnim prostorima

master's thesis

• Author: Dina Lordan
• Mentor: Zoran Vondraček (mentor)
• Committee member: Zoran Vondraček (predsjednik povjerenstva)
• Committee member: Hrvoje Šikić (član povjerenstva)
• Committee member: Bojan Basrak (član povjerenstva)
• Committee member: Siniša Slijepčević (član povjerenstva)
• Granter: University of Zagreb; Faculty of Science; (Department of Mathematics); Zagreb
• Defense date and country: 2019-02-28, Croatia
• Scientific / art field, discipline and subdiscipline: NATURAL SCIENCES; Mathematics

Abstract

U ovom radu opisujemo razne financijske modele na konačnim vjerojatnosnim prostorima koji se sastoje od $d+1$ financijske imovine te se tom imovinom trži u diskretnom vremenu. Pretpostavka da je prostor elementarnih događaja $\Omega$ konačan implicira da su svi prostori $\mathcal{L}^{p}(\Omega, \mathcal{F} , \mathbf{P})$ konačnodimenzionalni što znači da se cijela funkcionalna analiza svodi na linearnu algebru. Model promatramo kao slučajni proces, označavamo ga sa $S$, budući da su... More cijene financijskih imovina neizvjesne i slučajne pa ih modeliramo kao slučajne varijable. Prvo, uvodimo definiciju financijskog modela u ne nužno diskontiranim vrijednostima. Zatim, zbog vremenske vrijednosti novca, stvarne vrijednosti financijskih imovina svodimo na njihove diskontirane vrijednosti (vrijednosti svedene na sadašnju vrijednost) koristeći $0$-tu financijsku imovinu kao numéraire te čitavu teoriju razvijamo na diskontiranim modelima. Također, pretpostavljamo, radi jednostavnosti, da se trguje bez transakcijskih troškova iako u stvarnom svijetu to ne vrijedi. Pojam arbitraže je jako važan pojam u modernoj teoriji financija. Na stvarnom financijskom tržištu teško je, gotovo i nemoguće, pronaći mogućnost arbitraže, to jest ostvariti profit bez rizika sa $0$-net investicijom te iz tog razloga u radu modeliramo matematički model na financijskom tržištu koji ne dopušta mogućnost arbitraže. Glavni rezultat ovog rada je uspostavljena veza između ne-arbitražnih argumenata i martingalne teorije. Taj rezultat je poznat kao Fundamentalni teorem određivanja cijene imovine koji kaže da model financijskog tržišta ne dopušta arbitražu ako i samo ako su diskontirane cijene martingali s obzirom na ekvivalentnu vjerojatnosnu mjeru. Također, teorem nam ukazuje što princip ne-arbitraže govori o mogućim cijenama slučajnog zahtjeva. Nadalje, opisujemo vezu između jednoperiodnog modela bez arbitraže i višeperiodnog modela bez arbitraže te kako je jako mala razlika između ta dva modela. Nakon što smo opisali osnove tehnike za određivanje cijene i zaštite (hedge) vrijednosnih papira, pokazujemo koja se sve financijska imovina može uzeti kao numéraire imovina. Za kraj prvog poglavlje uspoređujemo Kramkovljev teorem o opcionalnoj dekompoziciji sa poznatom Doobovom dekompozicijom za nenegativne supermartingale. U drugom poglavlju riješavamo problem maksimizacije očekivane korisnosti bogatstva u zadnjem vremenskom trenutku $T$ te ga rješavamo pomoću teorije dualnosti. Problem pronalaženja, uz dani početni ulog $x$, optimalne strategije promatramo u slučaju kada je model tržišta bez arbitraže potpun i na kraju dobivene rezultate primjenjujemo na vrlo jednostavnom primjeru binomnog modela s jednim periodom. Less

Abstract (english)

In this paper we describe the various models od financial market with $d+1$ financial assets in the case of finite probability spaces in discrete time. Assumption that the probability spaces are finite implies that all the function spaces $\mathcal{L}^{p}(\Omega, \mathcal{F} , \mathbf{P})$ are finite-dimensional, thus reducing the functional analytic delicacies to simple linear algebra. The prices of financial assets are uncertain and random so we are modelling them as stochastic... More variables meaning that a model of a financial market is an $\mathbb{R}^{d+1}$-valued stochastic process, denoted by $S$ . First, we introduce financial model in not necessarily discounted terms. Because of the time value of money, the rest of theory we devote to reducing this situation to a model in discounted terms, using $0$-asset as a numéraire. We assume, for simplicity, that changing a portfolio does not trigger transaction costs. Although, in real world this assumption is not true. The notion of arbitrage is crucial to the modern theory of finance. Intuitively, definition of arbitrage is that an arbitrage opportunity is the possibility to make a profit without risk and without net investment of capital. The principle of no-arbitrage states that a mathematical model of financial market should not allow for arbitrage possibilities. A basic insight of this paper is the intimate relation between no-arbitrage arguments and martingale theory. This relation is the theme of the Fundamental theorem of asset pricing. Theorem states that a mathematical model of a financial market is free of arbitrage if and only if discounted prices are martingales under an equivalent probability measure. This theorem tell us, also, what the principle of no-arbitrage implies about the possible prices for a contingent clam. We describe the relation between one-period no-arbitrage and multiperiod no-arbitrage model and conclude that there is a little difference between these two models. After we have developed the basic tools for the pricing and hedging of derivative securities, we are showing what assets can be used as a numéraire . At the end of first chapter we compare Kramkov’s optional decomposition theorem with Doob’s decomposition theorem for non-negative super-martingales. In the second chapter we introduce the problem of maximising expected utility of terminal wealth and solve them by applying the duality theory. We deal with the case of an arbitrage-free complete market and illustrate results by applying them to very simple example with a one-period binomial model. Less

• Keywords: konačni vjerojatnosni prostori; ne-arbitražni argumenti; martingalna teorija; Kramkovljev teorem o opcionalnoj dekompoziciji; Doobova dekompozicija za nenegativne supermartingale
• Keywords (english): finite probability spaces; no-arbitrage arguments; martingale theory; Kramkov’s optional decomposition theorem; Doob’s decomposition theorem for non-negative super-martingales
• Language: croatian
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:019513
• Study programme: Title: Finance and Business Mathematics; Study programme type: university; Study level: graduate; Academic / professional title: magistar/magistra matematike (magistar/magistra matematike)
• Type of resource: Text
• File origin: Born digital
• Access conditions: Open access
• Created on: 2019-07-19 13:09:14