Prosti brojevi kroz povijest

diplomski rad

• Autor: Marin Žufić
• Mentor: Franka Miriam Bruckler (mentor)
• Član povjerenstva: Franka Miriam Bruckler (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Sanja Varošanec (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Mea Bombardelli (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2017-09-27, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Prvo poglavlje bavi se antičkim temeljima istraživanja prostih brojeva. Početke razvoja teorije o prostim brojevima nalazimo u staroj Grčkoj. Prvi koji su se više posvetili problematici prostih brojeva bili su pitagorejci. Na njihove rezultate nastavlja se Euklid, koji svojim Elementima ostavlja neizbrisiv trag, između ostalog i u teoriji prostih brojeva. Priču u staroj Grčkoj zaključuje Eratosten sa najstarijim poznatim algoritmom za pronalaženje prostih brojeva, Eratostenovim sitom. Drugo poglavlje bavi se doprinosima u 17. i 18. st. Uz neke iznimke, razvoj teorije brojeva stagnira do početka 17.st. Za temu rada, glavna imena tog doba su de Fermat, s više rezultata vezanim za proste brojeve, od kojih je najpoznatiji mali Fermatov teorem, te i Mersenne, najpoznatiji po Mersenneovim brojevima. Rad spomenutog dvojca utjecao je na Eulera koji je poopćio mali Fermatov teorem te iskazao zakon kvadratnog reciprociteta, kojeg su dokazali Legendre i Gauß. U trećem poglavlju navodimo neke doprinose u 19. stoljeću, konkretno Gaußov osnovni teorem aritmetike te teorem o prostim brojevima. U posljednjem, četvrtom, poglavlju rada ukratko su opisani razvoji vezani za najpoznatije otvorene probleme o prostim brojevima (Riemannova i Goldbachova hipoteza, hipoteza o parovima blizanaca, …), te neke zanimljivosti poput Ulamove spirale.

Sažetak (engleski)

The first chapter deals with the early history of prime number studies. It started in ancient Greece. The first ones to devote themselves to the study of prime numbers were the Pythagoreans. Their results were further developed by Euclid, whose Elements had a huge influence on all of mathematics, including prime numbers theory. We conclude our story about ancient Greek contributions to the topic with the oldest known algorithm for finding prime numbers, the Sieve of Eratosthenes. The second chapter deals with the developments in the 17th and 18th centuries. With minor exceptions, the development of the prime numbers theory was not further developed until the beginning of the 17th century. The main names for our topic in this period are de Fermat, with several contributions, of which the best known is his ’little theorem’, and Mersenne, best known for Mersenne primes, appear. The work of those two mathematicians influenced Euler, who generalised Fermat’s little theorem and expressed the law of quadratic reciprocity. Legendre and Gauß finally proved this law. In the third chapter we deal with 19th century contributions, in particular Gauß’s fundamental theorem of arithmetic and the prime number theorem. The final chapter gives a short overview of main developments concerning the best known open problems in prime number theory (Riemann’s and Goldbach’s conjecture, twin prime conjecture, …) and describes some interesting facts about prime numbers, e.g. the Ulam spiral.

• Ključne riječi: Euklid; Eratostenovo sito; mali Fermatov teorem; Mersenneovi brojevi; Euler; Gaußov osnovni teorem aritmetike; teorem o prostim brojevima; Riemannova hipoteza; Goldbachova hipoteza; hipoteza o parovima blizanaca; Ulamova spirala
• Ključne riječi (engleski): Euclid; Sieve of Eratosthenes; Fermat's little theorem; Mersenne primes; Euler; Gauß’s fundamental theorem of arithmetic; prime number theorem; Riemann’s conjecture; Goldbach’s conjecture; twin prime conjecture; Ulam spiral.
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:067737
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Zatvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2018-05-22 11:56:38