Kvalitativna analiza linearnih sustava običnih diferencijalnih jednadžbi i primjena na nelinearne sustave

diplomski rad

• Autor: Igor Dumbović
• Mentor: Maja Resman (mentor)
• Član povjerenstva: Maja Resman (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Sanja Varošanec (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Marko Tadić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Bojan Basrak (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2017-11-28, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

U ovom radu uglavnom se bavimo \(2\times 2\) linearnim sustavima običnih diferencijalnih jednadžbi. U prvom poglavlju ponavljamo osnovne činjenice o matričnom zapisu linearnog operatora i Jordanovoj bazi, sa svrhom traženja linearne zamjene varijabli koja sustav prevodi u što jednostavniji (ako je moguće dijagonalni) koji je lakše riješiti. U drugom poglavlju dajemo geometrijsku interpretaciju \(2 \times 2\) linearnih sustava običnih diferencijalnih jednadžbi koristeći polje smjerova. Uvodimo osnovne pojmove kao što su integralna krivulja i fazni portret sustava (skup trajektorija sustava prikazan u \(\mathbb{R}^2\)). Kao pripremu za iskaz fundamentalnog teorema o eksplicitnom rješenju linearnog sustava, u trećem poglavlju uvodimo pojam operatorske norme matrice kojom prostoru kvadratnih matrica dajemo strukturu normiranog prostora te smo u mogućnosti promatrati konvergenciju nizova i redova matrica. Zatim iskazujemo fundamentalni teorem o rješenju linearnog sustava u kojem je rješenje izraženo kao eksponencijalna funkcija matrice, u smislu konvergentnog reda u prostoru matrica. Ovisno o izgledu Jordanove matrice, tj. o tipu svojstvenih vrijednosti, dobivamo različite tipove rješenja, tj. faznog portreta. Na kraju poglavlja klasificiramo linearne sustave prema tipovima faznog portreta. Potkrepljujemo eksplicitne račune i kvalitativnom teorijom, tj. analizom trajektorija sustava korištenjem polja smjerova i geometrijske interpretacije sustava. U četvrtom poglavlju određujemo linearnu aproksimaciju nelinearnog sustava. Iskazujemo Hartman-Grobmanov teorem koji pod nekim uvjetima daje podudarnost faznog portreta sustava i njegove linearne aproksimacije. Time dajemo primjenu teorije razvijene za linearne sustave i na nelinearne sustave. Ilustriramo na primjeru.

Sažetak (engleski)

In this thesis we mainly deal with a \(2\times 2\) linear systems of ordinary differential equations. In the first chapter, we revise the basic facts about the matrix representation of the linear operator and about the Jordan basis, with the aim of finding a linear change of variables in which the system has a simpler (possibly diagonal) form and is easier to solve. In the second chapter, we give a geometric interpretation of \(2\times 2\) linear systems of ordinary differential equations using the field of directions. We introduce basic terms such as an integral curve and the phase portrait (the trajectories of the system displayed in \(\mathbb{R}^2\)). As a preparation for the statement of the fundamental theorem about the explicit solution of the linear system, in the third chapter we introduce the concept of the matrix norm, which gives the space of the square matrices the structure of the normed space and we are able to study the convergence of the sequences and series of matrices. Then we express a fundamental theorem about the solution of the linear system in which the solution is expressed as a matrix exponential in terms of the convergent series in the space of matrices. Depending on the form of the Jordan matrix, i.e. on the type of its eigenvalues, we get different types of phase portraits. At the end of the chapter we classify linear systems according to the types of eigenvalues. The explicit computations of solutions are explained from the viewpoint of qualitative analysis, i.e. by analyzing the trajectories of the system using fields of directions and the geometric interpretation of the system. In the fourth chapter, we define the linear approximation of the nonlinear system. We state the Hartman-Grobman’s theorem which under some circumstances states the similarity of the phase portrait of the system and of its linear approximation. Thus we give an application of the linear theory to non-linear systems, and illustrate on an example.

• Ključne riječi: linearni sustavi; obične diferencijalne jednadžbe; matrica; matrični zapis; Jordanova baza; Jordanova matrica; Hartman-Grobmanov teorem
• Ključne riječi (engleski): linear systems; ordinary differential equations; matrix; matrix representation; Jordan basis; Jordan matrix; Hartman-Grobman’s theorem
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:271071
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2018-05-23 12:54:16