Binarne kvadratne forme

diplomski rad

• Autor: Andreja Rogar
• Mentor: Zrinka Franušić (mentor)
• Član povjerenstva: Zrinka Franušić (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Boris Širola (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Ilja Gogić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Vedran Krčadinac (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2018-07-17, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Izrazi oblika \[ ax^2+bxy+cy^2, \] gdje su \(a, b, c \in \mathbb{Z}\), nazivaju se binarnim kvadratnim formama i to su zapravo kvadratni homogeni polinomi u dvije varijable. Tijekom povijesti najviše su za proučavane forme oblika \(x^2+y^2\) i \(x^2-dy^2\), dok u današnje vrijeme raste važnost teorije binarnih kvadratnih formi zbog njihove primjene u kriptografiji. U ovom radu su predstavljene osnovne notacije, činjenice i svojstva koja vežemo uz kvadratne forme, poput ekvivalencije formi, njihovog matričnog zapisa, geometrijske interpretacije i diskriminante kvadratnih formi. Nadalje, bavimo se problem reprezentacije cijelog broja nekom kvadratnom formom. Kažemo da forma \(f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2\) reprezentira cijeli broj \(n\) ako postoje \(x_{0}, y_{0}\in\mathbb{Z}\) takvi da je \(f(x_{0}, y_{0})=n.\)

Sažetak (engleski)

Expressions such as \[ ax^2+bxy+cy^2, \] where \(a, b, c\in\mathbb{Z}\), are called binary quadratic forms. There are, in fact, quadratic homogeneous polinomials in two variables x and y. Throughout history quadratic forms such as \(x^2+y^2\)and \(x^2-dy^2\) have been studied the most, while today increases the importance of the theory of binary quadratic forms due to their application in cryptography. In this graduate thesis we expose basic notations, facts and properties associated with quadratic forms, such as equivalence of forms, the matrix representation, geometrical interpretations and the discriminant of a form. Furthermore, we deal with representations of integers by binary quadratic forms. We say that the form \(f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2\) represents an integer if there exist \(x_{0}, y_{0}\in\mathbb{Z}\) such that \(f(x_{0}, y_{0})=n.\)

• Ključne riječi: binarne kvadratne forme; kriptografija; reprezentacija cijelog broja kvadratnom formom
• Ključne riječi (engleski): binary quadratic forms; cryptography; representations of integers by binary quadratic forms
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:978889
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Pristup korisnicima matične ustanove
• Datum i vrijeme pohrane: 2018-08-30 12:21:11