Jednočestični Schrödingerovi operatori

diplomski rad

• Naslov (engleski): One-particle Schrödinger operators
• Autor: Valentino Novak
• Mentor: Marko Erceg (mentor)
• Član povjerenstva: Marko Erceg (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Marko Vrdoljak (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Zoran Vondraček (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Miljenko Marušić (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2021-09-24, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

U ovom radu dajemo pregled teorije neograničenih samoadjungiranih operatora na Hilbertovom prostoru i njihovu primjenu na modeliranje atoma vodika. Pokazujemo da glavni rezultati teorije, Spektralni teorem i Stoneov teorem vrijede isključivo za samoadjungirane operatore, pa su nam baš takvi operatori od glavnog interesa. Kako su u primjenama operatori koji obično susrećemo simetrični, pokazujemo nužne i dovoljne uvjete da bi simetričan operator bio samoadjungiran i promatramo mogućnosti proširenja simetričnih operatora do samoadjungiranih operatora. Kao glavne primjere promatramo operatore položaja i količine gibanja. U nastavku spominjemo Spektralni teorem kao jedan od glavnih rezultata funkcionalne analize, koji nam za proizvoljnu Borelovu funkciju \(f\) omogućava definiranje izraza \(f\) (A), gdje je A samoadjungirani operator. Koristeći Spektralni teorem može se pokazati Stoneov teorem koji nam dokazuje da je generator jednoparametarske unitarne grupe koja opisuje vremensku evoluciju Schroedingerove jednadžbe upravo samoadjungiran operator. U konačnici postavljamo model atoma vodika i dokazom Kato-Relichovog teorema pokazujemo da se upravo radi o samoadjungiranom operatoru, te dajemo karakterizaciju spektra.

Sažetak (engleski)

In this thesis, we present an outline of the theory of unbounded self-adjoint operators acting on Hilbert space and their application to the hydrogen atom. We show that the main results of operator theory, including Spectral theorem and Stone’s theorem, apply exclusively to self-adjoint operators. In practical application, operators we come across are often symmetric. We show necessary conditions for symmetric operators to be self-adjoint and we explore the possibilities of extending symmetric operators to self-adjoint operators. Our main examples include position and momentum operators. Afterward, we briefly talk about the Spectral theorem as one of the most important results in functional analysis, which for arbitrary self-adjoint operator A allows us to define \(f\) (A) for any Borel function \(f\) . Using Spectral theorem we can prove Stone’s theorem, which shows that generator of a one-parameter unitary group that characterizes the time evolution of Schr¨odinger equation is self-adjoint. Lastly, we describe the simple model of the hydrogen atom, characterize its spectrum, and using Kato-Rellich’s theorem show that the governing operator is self-adjoint.

• Ključne riječi: samoadjungirani operatori; Hilbertov prostor; Spektralni teorem; Stoneov teorem; Borelova funkcija; Kato-Relichov teorem
• Ključne riječi (engleski): self-adjoint operators; Hilbert space; Spectral theorem; Stone’s theorem; Borel function; Kato-Rellich’s theorem
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:100660
• Studijski program: Naziv: Primijenjena matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2021-11-02 14:41:08