Generalizirani Wronskiani i modularne krivulje

disertacija

• Naslov (engleski): Generalized Wronskians and modular curves
• Autor: Damir Mikoč
• Mentor: Goran Muić (mentor)
• Član povjerenstva: Matija Kazalicki (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Goran Muić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Iva Kodrnja (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Marko Tadić (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2022-02-15, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika
• Univerzalna decimalna klasifikacija (UDC): 51 - Matematika

Sažetak

Fokus ove teze su modularne krivulje i modularne forme za neku Fuchsovu grupu prve vrste \(\Gamma\), posebno za grupu \(\Gamma_0(N)\). Proučavamo Weierstrassove i \(n\)–Weierstrassove točke, \(n \in \mathbb{N}\), na krivulji \(\mathfrak{R}_{\Gamma}\) u jeziku modularnih formi. Za danu modularnu krivulju \(\mathfrak{R}_{\Gamma}\) i paran cijeli broj \(m \geq 4\) želimo dati efektivan algoritam za provjeru jeli kasp \(a_{\infty}, m/2\)–Weierstrassova točka na \(\mathfrak{R}_{\Gamma}\). Uvodimo prirodno poopćenje pojma Wronskiana kaspidalnih modularnih forma. Proučavamo Wronskiane kanonskih baza prostora \(M_m(SL_2(\mathbb{Z}))\). Proučavamo biracionalna preslikavanja \(X(1) \longrightarrow \mathbb{P}^2\) i računamo jednadžbe dobivenih krivulja. Razvijen je algoritam u SAGE-u koji funkcionira za sve krivulje tipa \(X_0(N)\), genusa \(g \geq 3\) koje nisu hipereliptičke. Kao posljedicu tog algoritma izračunali smo jednadžbe svih kanonskih krivulja tipa \(X_0(N)\), genusa \(3 \leq g \leq 5\), koje nisu hipereliptičke. Razvijen je algoritam za račun Wronskiana linearno nezavisnih modularnih formi. U SAGE-u su izračunati Wronskiani kanonskih baza prostora \(M_m(SL_2(\mathbb{Z}))\), za parne \(m = 12,14,16,\dots,108,110,120\). Temeljem toga dokazan je teorem o vrijednosti tih Wronskiana za bilo koji parni \(m\), do na neku ne–nul konstantu \(\lambda\). Za \(m = 12t\) iskazana je slutnja o vrijednosti konstante \(\lambda\) do na predznak. Dani su numerički primjeri računa u SAGE-u kojima smo dobili jednadžbe ravninskih krivulja \(\mathcal{C} \subseteq \mathbb{P}^2\) biracionalno ekvivalentnih krivulji \(X(1)\).

Sažetak (engleski)

We are interested in modular curves and modular forms for some Fuchsian group of the first kind, especially for the group \(\Gamma_0(N)\). We are studying Weierstrass and \(n\)–Weierstrass points, \(n \in \mathbb{N}\), on curve \(\mathfrak{R}_{\Gamma}\) in the language of modular forms. For a given modular curve \(\mathfrak{R}_{\Gamma}\) and an even integer \(m \geq 4\), we want to give an effective algorithm for checking whether cusp \(a_{\infty}\) is a Weierstrass point on \(\mathfrak{R}_{\Gamma}\). We have introduced a natural generalization of the usual notion of the Wronskian of cuspidal modular forms. We are studying the Wronskians of the canonical bases of the spaces \(M_m(SL_2(\mathbb{Z}))\). We are studying the birational maps \(X(1) \longrightarrow \mathbb{P}^2\) and calculate the equations of the obtained curves. An algorithm has been developed in SAGE that works for all curves of type \(X_0(N)\), of the genus \(g \geq 3\), that are not hyperelliptic. As a consequence of this algorithm, we calculated the equations of all canonical curves of type \(X_0(N)\), genus \(3 \leq g \leq 5\), which are not hyperelliptic. An algorithm for the calculation of the Wronskian of linearly independent modular forms has been developed. In SAGE, we have calculated Wronskians of canonical bases for \(M_m(SL_2(\mathbb{Z}))\), for even \(m = 12,14,16,\dots,108,110,120\). Based on this, the theorem on the value of these Wronskians for any even \(m\), up to some non - zero constant \(\lambda\), has been proved. For \(m = 12t\) we made a conjecture about the value of the constant \(\lambda\) up to the sign.

• Ključne riječi: Fuchsova grupa prve vrste; Riemannova ploha; gornja poluravnina; modularna grupa; modularna krivulja; Weierstrassova točka; modularna forma; Wronskian; krivulja X(1); biracionalno preslikavanje; krivulja X_0(N); hipereliptička krivulja; kanonska krivulja
• Ključne riječi (engleski): Fuchsian group of the first kind; Riemann surface; upper half-plane; modular group; modular curve; Weierstrass point; modular form; Wronskian; curve 𝑋(1); birational map; curve 𝑋_0(𝑁); hyperelliptic curve; canonical curve
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:437223
• Datum promocije: 2022
• Studijski program: Naziv: Matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: poslijediplomski doktorski; Akademski / stručni naziv: doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika (dr. sc.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Opseg: vi, 123 str.
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2022-03-15 13:56:23