Divizori na glatkim krivuljama u \(P^n\)

diplomski rad

• Autor: Marin Petković
• Mentor: Goran Muić (mentor)
• Član povjerenstva: Goran Muić (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Marko Tadić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Boris Širola (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Matija Kazalicki (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2015-07-10, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Cilj ovog rada bio je prezentirati teoriju divizora na algebarskim krivuljama koju su prvi otkrili Dedekind i Weber. Pomoću divizora smo izložili neke osnovne Riemannove ideje u teoriji algebarskih krivulja. Prvo poglavlje sadrži kratak pregled klasične algebarske geometrije: definicije mnogostrukosti, preslikavanja, tangencijalnog prostora i nesingularnosti. U drugom poglavlju definirali smo regularne diferencijalne forme na općenitim mnogostrukostima i opisali kako izgledaju moduli diferencijalnih formi u okolini nesingularnih točaka. Analogne rezultate pokazali smo za regularne diferencijalne p-forme. Definirali smo i racionalne diferencijalne p-forme i pokazali da one čine vektorski prostor nad poljem racionalnih funkcija. U trećem poglavlju definirali smo grupu divizora na krivuljama. Dokazali smo da je stupanj glavnog divizora na nesingularnoj projektivnoj krivulji jednak nuli i koristeći taj rezultat dokazali smo jedan poseban slučaj Bézoutovog teorema. Nadalje, pokazali smo da je Riemann-Rochov prostor divizora na krivulji konačno dimenzionalan i dobili jednostavan kriterij za ispitivanje racionalnosti krivulje. Proučavali smo divizore na nesingularnoj ravninskoj kubnoj krivulji i dobili karakterizaciju pomoću dimenzije divizora. Na kraju smo izračunali genus ravninskih krivulja u ovisnosti o stupnju krivulje te koristeći Riemann-Rochov teorem skicirali jednu ideju klasifikacije krivulja.

Sažetak (engleski)

The goal of this paper was to present the theory of divisors on algebraic curves, which was first introduced by Dedekind and Weber. Using divisors we expose some basic Riemann ideas in the theory of algebraic curves. The first chapter contains a brief overview of the classical algebraic geometry: definitions of varieties, mappings, tangent space and nonsingularity. In the second chapter we have defined regular differential forms on the general variety and described modules of differential forms in the neighbourhood of nonsingular points. We have shown analogous results for the regular differential p-forms. We defined rational differential p-forms and showed that they form a vector space over the field of rational functions. In the third chapter, we defined the divisor group on curves. We have shown that the degree of the principal divisor on nonsingular projective curve equals zero and using this result we have proved one special case of Bézout’s theorem. Furthermore, we have shown that the Riemann-Roch space of a divisor on a curve is finite-dimensional and we deduced a simple criterion for testing the rationality of a curve. We studied divisors on a nonsingular plane cubic curve and derived the characterization using the dimension of divisor. Finally, we calculated the genus of a plane curve depending on the degree of a curve and using the Riemann-Roch theorem we scetched an idea for the classification of curves.

• Ključne riječi: teorija divizora na algebarskim krivuljama; regularne diferencijalne p-forme; Bézoutov teorem; Riemann-Rochov teorem
• Ključne riječi (engleski): theory of divisors on algebraic curves; rational differential p-forms; Bézout’s theorem; Riemann-Roch theorem
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:269399
• Studijski program: Naziv: Teorijska matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Pristup korisnicima matične ustanove
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-01-29 12:39:37