Teorija potencijala Markovljevih lanaca

diplomski rad

• Autor: Marija Sabljić
• Mentor: Ante Mimica (mentor)
• Član povjerenstva: Ante Mimica (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Vedran Krčadinac (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Igor Pažanin (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Josip Tambača (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2014-09-25, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

U radu smo stavili poznate pojmove iz klasične teorije potencijala u kontekst teorije Markovljevih lanaca. Kroz cijeli rad, glavni primjer Markovljevog lanca je jednostavna simetrična slučajna šetnja na $\mathbb{Z}^l$, za $l \geq 1$. Pri proučavanju svojstava, pa i pri samoj definiciji određenih pojmova, često nam je bitno da li se radi o povratnom ili prolaznom Markovljevom lancu. Konkretno, za slučajnu šetnju smo pokazali da je povratna ako je $l$ jednak 1 ili 2, dok je za $l \geq 3$... Više prolazna. Harmonijske funkcije igraju važnu ulogu u teoriji Markovljevih lanaca te su nužne za definiranje ostalih analogona iz klasične teorije potencijala. One su usko povezane sa diskretnom teorijom martingala. Ako je $X$ Markovljev lanac, pokazujemo da je funkcija $f$ harmonijska ako i samo ako je $f (X)$ martingal. Nenegativne superharmonijske funkcije, malo šira klasa funkcija od harmonijskih, nazivamo ekscesivne funkcije. Rieszova dekompozicija daje nam egzistenciju i jedinstvenost rastava ekscesivne funkcije na zbroj potencijala i nenegativne harmonijske funkcije. Pokazuje se da je vjerojatnost da Markovljev lanac posjeti neki skup $B$, a koja ovisi o početnom stanju, ekscesivna funkcija. Posebno je, u slučaju prolaznog i ireducibilnog Markovljevog lanca, harmonijska funkcija iz Rieszove dekompozicije navedene vjerojatnosti jednaka 0, pa se zapravo radi o potencijalu. Kapacitet je definiran za prolazne Markovljeve lance, budući da je za njih definiran potencijal. No, svi rezultati vezani uz kapacitet za prolazne Markovljeve lance, vrijede i za povratnu i prolaznu slučajnu šetnju. Dovoljno je samo gledati prolazne skupove. Na kraju rada, dali smo važnu primjenu kapaciteta u teoriji Markovljevih lanaca. Kriterij povratnosti skupa za slučajnu šetnju na $\mathbb{Z}^3$ dan je pomoću kapaciteta i predstavlja diskretni analogon Wienerovog kriterija. Sakrij dio sažetka

Sažetak (engleski)

In this thesis we have set some terms of classical potential theory into context of Markov chains. As the basic example of Markov chain in this thesis, we use the simple symmetric random walk on the $l$-dimensional lattice $\mathbb{Z}^l$, for $l \geq 1$. In the study of properties and definitions of certain terms, it is important whether we talk about recurrent or transient Markov chains. We have shown that symmetric random walk is recurrent if $l$ is 1 or 2, while it is transient for... Više $l \geq 3$. Harmonic functions play an important role in the theory of Markov chains and are necessary for defining other classical potential theory analogs. They are strongly connected with discrete martingale theory. Considering Markov chain $X, f$ is harmonic if and only if $f(X)$ is martingale. Superharmonic functions make broader class of functions than harmonic. Nonnegative superharmonic functions are called excessive functions. Riesz decomposition gives us existence and uniqueness of an excessive function decomposition into a sum of a potential and a nonnegative harmonic function. It turns out that probability of visiting some set $B$ by a Markov chain, depending on initial state, is an excessive function. In particular, in case of an irreducible and transient Markov chain, harmonic function from Riesz decomposition of mentioned probability equals zero, so we actually talk about potential. Capacity is defined for transient Markov chains, since the potential is well-defined in this case. Regardless, all results for capacity in the case of transient Markov chains can be applied for transient as well as recurrent random walks. We only have to consider transient sets. In the end of this thesis, we give an important application of capacity in the theory of Markov chains. Recurrence criterion of a set for the simple symmetric random walk on $\mathbb{Z}^3$ is given in terms of capacity and represents a discrete counterpart of the Wiener criterion. Sakrij dio sažetka

• Ključne riječi: teorija Markovljevih lanaca; ekscesivne funkcije; Rieszova dekompozicija; diskretni analogon Wienerovog kriterija; Markovljev lanac; Markovljevi lanci
• Ključne riječi (engleski): Markov chains; excessive function; Riesz decomposition; discrete counterpart of the Wiener criterion
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:566277
• Studijski program: Naziv: Financijska i poslovna matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-02-06 13:26:11