| Sažetak | Two-phase flow in porous media appears in many petroleum and environment engineering problems, like secondary and tertiary oil recovery, the disposal of radioactive waste, sequestration of \(CO_2\) etc. This thesis covers both mathematical and numerical analysis of this type of flows. Significant part of this thesis is devoted to the mathematical modeling and analysis of multiphase flows, precisely to a formulation of a two-phase, two-component model with exchange of the mass between the phases and to study the existence of weak solutions to this model. Specifically, flow of the fluid composed of water and gas with possible dissolution of the gas in water is considered. The model is completed with the assumption of the low solubility of the gas. Numerical simulation often represents the only viable approach to the mathematical modeling of multiphase flows due to the nonlinearity of equations governing these flows, as well as heterogeneity of the domains where these flows occur. Therefore, an important part of this thesis is devoted to numerical analysis of the model describing immiscible compressible two-phase flow in porous media by the concept of the global pressure. More precisely, the convergence of a fully coupled fully implicit petroleum engineering finite volume method based on the cell-centered discretization is studied and the result is proved under standard assumptions. A similar proof was given in [76] with different techniques. As a groundwork for future research regarding compositional flow in this thesis we also consider the fractional flow formulation with the global pressure as a primary variable in the case of immiscible compressible flow. An efficient numerical method is obtained once again through a cell-centered finite volume discretization. The proposed method is verified on important 1D, 2D and 3D benchmark test cases modeling different scenarios of water-gas (hydrogen) flow in porous media. For the code development we have used the \(DuMu^x\), programming framework for implementation of the models describing the flow and transport processes in porous media, see [43] and [66]. |
| Sažetak (engleski) | Dvofazni tok fluida u poroznoj sredini javlja se u brojnim problemima vezanim za naftno inženjerstvo i hidrologiju, kao i u brojnim problemima vezanim za zaštitu okoliša. Neki od primjera su sekundarno i tercijarno izvlačenje nafte, odlaganje radioaktivnog otpada, sekvestracija \(CO_2\) itd. U ovoj disertaciji je dana matematicka i numerička analiza matematičkih modela koji opisuju navedene tokove. Značajan dio disertacije posvećen je matematičkom modeliranju i analizi višefaznih tokova, preciznije formulaciji dvofaznog, dvokomponentnog modela s izmjenom mase između faza te analizi egzistencije rješenja predloženog modela. Preciznije, proučavan je tok fluida sastavljenog od vode i plina uz mogućnost otapanja plina u vodi. Model je upotpunjen pretpostavkom slabe topljivosti plina koja se koristi u dokazu egzistencije rješenja predloženog modela. Ovoj pretpostavci je dano precizno matematičko značenje. Pretpostavka slabe topljivosti je ključna za izvod energetske ocjene bez ikakvih nefizikalnih pretpostavki na difuzijske članove u modelu. Prilikom proučavanja višekomponentnih modela poseban tretman zahtjeva nestanak i ponovno pojavljivanje pojedine faze. U ovom radu taj je problem riješen primjenom perzistentnih varijabli koje su dobro definirane i u jednofaznim i u dvofaznim područjima. Numeričke simulacije često predstavljaju jedini izvedivi pristup matematičkom modeliranju višefaznih tokova zbog nelinearnosti jednadžbi koje opisuju dotične tokove, kao i izrazite heterogenosti domena u kojima se javljaju. Upravo iz tih razloga, dio ove radnje je posvećen numeričkoj analizi modela koji opisuju nemješivi, stlačivi, dvofazni tok fluida u poroznoj sredini. Jedna od najčešće korištenih diskretizacijskih tehnika pri simulacijama tokova u poroznoj sredini je metoda konačnih volumena, koja je korištena u ovom radu. Preciznije, proučavana je konvergencija metode konačnih volumena centriranih u središtu elemenata za klasičnu inženjersku shemu. Sličan problem je proučavan u radu [76], gdje je korištena druga verzija globalnog tlaka, definirana u [36]. Globalni tlak je umjetna varijabla koja je ključna za izvod energetske ocjene, i u tu svrhu se često koristi. Dokaz predstavljen u ovom radu se temelji na globalnom tlaku koji je definiran u [5]. Globalni tlak također ima veliku ulogu u modeliranju višekomponentnog toka zbog činjenice da se može koristiti kao perzistentna varijabla. U ovoj disertaciji globalni tlak je korišten za simulaciju nešto jednostavnijeg modela za nemješivi, stlačivi, dvofazni tok fluida. Taj dio radnje nam služi kao temelj za buduća istraživanja vezana za višefazni, višekomponentni tok. Primijenjena numerička metoda je dobivena korištenjem diskretizacije konačnim volumenima. Predložena metoda je verificirana na poznatim testnim primjerima iz literature. Struktura ove radnje je sljedeća. U poglavlju 1 su dane osnovne definicije i svojstva porozne sredine. Također su predstavljeni modeli koji opisuju jednofazni i dvofazni tok u poroznoj sredini, kao i višekomponentni tok. U ovom poglavlju predstavljeni su i različiti sustavi koji se mogu koristiti za modeliranje toka fluida, temeljeni na različitom izboru primarnih nepoznanica. U poglavlju 2 predstavljen je teorem egzistencije rješenja modela koji opisuje dvofazni, dvokomponentni tok fluida u poroznoj sredini uz pretpostavku slabe topljivosti plina. Dokaz teorema se sastoji od nekoliko koraka. U prvom koraku sustav je regulariziran zajedno s vremenskim derivacijama kako bi se dobio niz eliptičkih sustava. Teorem egzistencije rješenja spomenutih eliptičkih sustava je dokazan korištenjem Schauderovog teorema o fiksnoj točki. Uvedene su dodatne regularizacije i specijalne test funkcije su primijenjene s ciljem dobivanja energetske ocjene na kojoj se temelji dokaz teorema. Puštanjem limesa u regularizacijskim parametrima eliminirane su vremenska diskretizacija i inicijalna regularizacija kako bi se na limesu dobilo slabo rješenje inicijalo rubne zadaće za dvofazni, dvokomponentni tok fluida. U poglavlju 3 analizirana je konvergencija klasične inženjerske numeričke metode za nemješivi, stlačivi, dvofazni tok fluida u poroznoj sredini. Na početku poglavlja je predstavljena prostorna diskretizacija konačnim volumenima centriranim u središtu elemenata, kao i vremenska diskretizacija temeljena na implicitnoj Eulerovoj metodi. Nakon toga je definiran globalni tlak koji je ključan za izvod energetske ocjene. Sljedeći korak u dokazu konvergencije je dokaz principa maksimuma za zasićenje. Primjenom odgovarajućih test funkcija izvedena je energetska ocjena, koja je među ostalim korištena i u dokazu egzistencije rješenja sustava diskretnih jednadžbi. Nakon toga je predstavljen dokaz kompaktnosti diskretnog rješenja čime je omogućen prijelaz na limes u diskretnim jednadžbama. Na limesu je dobivena slaba formulacija polazne kontinuirane zadaće. U poglavlju 4 je predstavljena numerička metoda koja direktno koristi globalni tlak. Predstavljeni su numerički rezultati dobiveni metodom konačnih volumena primijenjenom na nemješivi, stlačivi, dvofazni model. Na početku poglavlja opisana je korištena numerička metoda. Nakon toga su predstavljeni numerički rezultati za testne primjere u kojima je domena homogena. Predstavljeni testovi su inspirirani poznatim primjerima iz literature. Zatim je promatran slučaj heterogene domene, odnosno domene koja je sastavljena od više različitih tipova stijena. Kod ovakvih testnih primjera javlja se potreba za specijalnim tretmanom granice koja razdvaja poddomene sastavljene od različitih tipova stijena, koji je potanko opisan u ovom poglavlju. Nakon toga su predstavljeni numerički rezultati dobiveni za testne primjere s heterogenom domenom. Na samom kraju disertacije dan je kratki opis implementacije numeričke metode u biblioteci \(DuMu^x\) ([43], [66]). |
