p-adski brojevi i algebarska proširenja

diplomski rad

• Naslov (engleski): p-adic numbers and algebraic expansions
• Autor: Tina Šakić
• Mentor: Igor Ciganović (mentor)
• Član povjerenstva: Igor Ciganović (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Nikola Sandrić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Siniša Slijepčević (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Franka Miriam Brückler (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2022-09-28, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

U ovom smo se radu bavili proučavanjem p-adskih brojeva koje je prvi puta opisao njemački matematičar Kurt Hensel 1897. godine. Skup p-adskih brojeva opisali smo u kontekstu teorije skupova, algebre i metričkoga prostora. Prvo smo krenuli od prstena \(\mathbb{Z}p\) p-adskih cijelih brojeva, a budući da smo pokazali da je \(\mathbb{Z}p\) integralna domena, proširili smo \(\mathbb{Z}p\) na polje razlomaka koje smo označavali sa \(\mathbb{Q}p\). Vidjeli smo da je na \(\mathbb{Q}p\) moguće definirati ultrametriku. Iskazali smo i dokazali jednu od osnovnih tvrdnji vezanu za p-adske brojeve, Henselovu lemu, koja govori da možemo doći do jedinstvenog rješenja jednadžbe P(x) = 0 za polinom P ∈ \(\mathbb{Z}p\) [x]. Vidjeli smo da je Henselova lema usko vezana na Newtonovu metodu pronalaženja aproksimacije nultočki. Dotaknuli smo se kvadratnih proširenja polja \(\mathbb{Q}p\) kao direktne posljedice Henselove leme. Na kraju smo proučavali algebarska proširenja p-adskih brojeva i vidjeli primjer konačnog Galoisovog proširenja.

Sažetak (engleski)

In this master’s thesis we study p-adic numbers which were first described by Kurt Hensel, German mathematician, in 1897. We describe the set of p-adic numbers in context of set theory, algebra and metric spaces. First we observe the ring of p-adic integers, denoted by \(\mathbb{Z}p\). Ring \(\mathbb{Z}p\) is shown to be an integral domain, so it’s possible to define the field of fractions of \(\mathbb{Z}p\), which we denote by \(\mathbb{Q}p\). Also, we define an ultrametrics on \(\mathbb{Q}p\). We give a proof of Hensel’s lemma, one of the fundamental statements of p-adic theory, which shows that there is an unique solution of P(x) = 0 for x ∈ \(\mathbb{Z}p\) and P ∈ \(\mathbb{Z}p\) [x]. Also, we observe some connections between Newton’s method for finding an approximate solutions for f (x) = 0, and Hensel’s lemma. As direct consequence of Hensel’s lemma we observe quadratic extensions of \(\mathbb{Q}p\). In the very end of this paper, we study algebraic extensions of p-adic numbers and show an example of a finite Galois extension.

• Ključne riječi: Kurt Hensel; teorija skupova; algebra; metrički prostor; ultrametrika; Henselova lema; Galoisovo proširenje
• Ključne riječi (engleski): Kurt Hensel; set theory; algebra; metric space; ultrametrics; Hensel's lemma; Galois expansion
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:141590
• Studijski program: Naziv: Financijska i poslovna matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2022-11-08 13:12:17