C*-algebre kompaktnih operatora

diplomski rad

• Naslov (engleski): C*-algebras of compact operators
• Autor: Luka Junaković
• Mentor: Ilja Gogić (mentor)
• Član povjerenstva: Zvonko Iljazović (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Ilja Gogić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Dražen Adamović (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Dijana Ilišević (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2022-12-01, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Cilj ovog rada bio je prezentirati osnovnu teoriju C*-algebri s naglaskom na C*- algebre kompaktnih operatora. Nakon što se obrade glavni rezultati teorije Banachovih algebri, započinjemo s promatranjem jedne posebne klase Banachovih algebri, tzv. C*-algebri koje su po definiciji Banachove *-algebre čiji svaki element zadovoljava ||a*a|| = \(||a||^2\). Dokazan je Komutativni Gelfand-Naimarkov teorem koji ukratko kaže da svaku komutativnu C*-algebru možemo realizirati kao algebru neprekidnih funkcija na nekom lokalno kompaktnom Hausdorffovom prostoru koje iščezavaju u beskonačnosti. Nakon toga se razvija teorija reprezentacija C*-algebri što kulminira poznatim (nekomutativnim) Gelfand-Naimark teoremom koji kaže da se svaka C*-algebra može realizirati kao zatvorena, samoadjunigrana podalgebra algebre ograničenih operatora na nekom Hilbertovom prostoru. Nakon toga, naglasak je stavljen na analizu C*-algebri kompaktnih operatora, gdje u potpunosti opisujemo reprezentacije C*-algebri kompaktnih operatora te pomoću tog opisa dolazimo do njihovog strukturnog teorema.

Sažetak (engleski)

The goal of this thesis was to present the basic theory of C*-algebras with emphasis on C*-algebras of compact operators. After the main results in the theory of Banach algebras are covered, we proceed with the study of so called C*-algebras, which are defined as complete *-algebras whose every element satisfies ||a*a|| = |\(||a||^2\). Commutative Gelfand-Naimark theorem is proven which, in short, states that every commutative C*-algebra can be realized as an algebra of continuous functions on some locally compact Hausdorff space which vanish at infinity. Next, we begin with the development of the representation theory of C*-algebras which culminates with the famous (noncommutative) Gelfand-Naimark theorem which states that every C*-algebra can be realized as a closed, self-adjoint, subalgebra of algebra of bounded operators on some Hilbert space. After that, the emphasis is given to the study of C*-algebras of compact operators, where we completely describe the representations of C*-algebras of compact operators and thus we deduce their structural theorem.

• Ključne riječi: teorije Banachovih algebri; Banachove *-algebre; komutativni Gelfand-Naimarkov teorem; kompaktni Hausdorffov prostor; Hilbertov prostor
• Ključne riječi (engleski): theory of Banach algebras; Banach C*-algebras; commutative Gelfand-Naimark theorem; compact Hausdorff space; Hilbert space
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:979432
• Studijski program: Naziv: Teorijska matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2022-12-16 12:08:11