Robusna analiza glavnih komponenti

diplomski rad

• Naslov (engleski): Robust principal component analysis
• Autor: Ela Đimoti
• Mentor: Hrvoje Planinić (mentor)
• Član povjerenstva: Hrvoje Planinić (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Siniša Slijepčević (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Miljenko Marušić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Željka Milin Šipuš (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2023-07-14, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Analiza glavnih komponenti veoma je koristan i poznat alat za smanjivanje dimenzija početnog uzorka. Glavna ideja je rekonstruirati originalni uzorak u manjem, afinom potprostoru koji će sadržavati maksimalnu količinu početne varijance. S obzirom da počima na metodi najmanjih kvadrata koja je notorno osjetljiva na odskočnike, i činjenicu da u praksi imamo posla sa sve više i većim podatacima koje ne možemo preprocesirati ručno, postoji potreba za razvoj robusnih metoda analize glavnih komponenti (RPCA). U ovom radu prvo se prisjećamo klasične analize glavnih komponenti. Iznosimo neka od najrelevantnijih svojstva glavnih komponenti i neke prilagodbe i specifičnosti za slučaj kada uzorak dolazi iz nepoznate populacije. Potom gradimo teoriju robusne statistike za algoritam robusnih glavnih komponenti. Počinjemo s M-procjeniteljima ("maximum-likelihood like") i W-procjeniteljima ("weight like") kao robusnim alternativama za klasičnu metodu minimizacije najmanjih kvadrata. Poput svih M-procjenitelja, metoda značajno ovisi o parametru skaliranja \(\sigma\) kojega također moramo robusno procijeniti. On će biti vrijednost spram koje procjenjujemo je li pojedini piksel odskočnik. Metoda koju ovdje koristimo je apsolutna devijacija medijana (MAD) što je robusna mjera varijabilnosti podataka. Nadalje, dajemo dvije formulacije ciljne funkcije za naš RPCA i dokazujemo da je rješenje intuitivnije funkcije također rješenje funkcije koju je znatno lakše riješiti uz par dodanih uvjeta. Na kraju, sve to sakupljamo u algoritam baziran na metodi najmanjih kvadrata s iterativnim ažuriranjem težina (IRLS) Primjenjujemo algoritam na dva skupa podataka i uspoređujemo ga s algoritmom klasične analize glavnih komponenti. Jedan skup podataka čine slike snimljene statičnom kamerom tokom jednog dana koja, osim promjene u iluminaciji, sadržava i slike raznih ljudi dok prolaze kroz kadar. Drugi skup podataka je dio \textit{Extended Yale B} uzorka i sadržava izrezano lice jednog od subjekata u istoj pozi sa drugačijim osvjetljenjem. Zaključujemo da algoritam prilikom rekonstrukcije originalnih podataka bolje eliminira odskočnike iz prvog skupa podataka jer ih je manje i više su izolirani. U drugom slučaj, i dalje većinski dobivamo bolje rezultate od klasičnog PCA, ali algoritam ne uspjeva u potpunosti ukloniti sjenčanje. Međutim, kada smo dodali tri manje grupe odskočnika na isto mjesto povrh \(20\%\) slika, algoritam ih u potpunosti uspjeva eliminirati.

• Ključne riječi: RPCA; analize glavnih komponenti; iterativno ažuriranje težina (IRLS)
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:807926
• Studijski program: Naziv: Matematička statistika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: sveučilišni magistar matematike (univ. mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2024-02-08 13:38:00