O nekim otvorenim problemima iz teorije brojeva

diplomski rad

• Autor: Anđela Kuzek
• Mentor: Zrinka Franušić (mentor)
• Član povjerenstva: Zrinka Franušić (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Marko Tadić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Maja Resman (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Andrej Dujella (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2017-07-18, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Teorija brojeva kompleksna je grana matematike koja krije mnogo neistraženih i nedokazanih slutnji na koje matematičari pokušavaju pronaći odgovore i dokaze već stotinama godina. U ovom radu navedene su samo neke, od velikog broja nedokazanih tvrdnji, vezane uz savršene i proste brojeve. Iako su jednostavne i lako razumljive, pa stoga zanimljive matematičarima i amaterima, jako su teško dokazive. Neki od najpoznatijih otvorenih problema u ovom radu vezani su uz beskonačnost savršenih, prostih i složenih Fermatovih, prostih i složenih Mersenneovih brojeva i parova blizanaca čiji su oblici, svojstva i najpoznatiji teoremi navedeni. Pomoću modernih računala otkriveni su vrlo veliki brojevi takvih oblika, međutim strogog matematičkog dokaza da ih postoji beskonačno mnogo još uvijek nema. Najpoznatiji i najstariji otvoreni problem je svakako slavna Goldbachova slutnja: "Svaki paran broj veći od broja 2 može se zapisati kao zbroj dva prosta broja", koja je od davne 1742. godine pravi izazov za matematičare. Postoje mnogi rezultati koji upućuju na točnost poznatih otvorenih problema te su mnogi matematičari, pokušavajući dokazati te tvrdnje, došli do drugih važnih rezultata i dokaza, koristeći rezultate iz teorije brojeva, ali i drugih područja matematike. Budući da nisu dokazani već stotinama godina, u ovom radu nećemo dobiti odgovore na poznata pitanja, ali ćemo dati neke povijesne zanimljivosti, pokazati neke pokušaje u dokazivanju te iskazati poznate teoreme i rezultate vezane uz otvorena pitanja.

Sažetak (engleski)

Number theory is a complex branch of mathematics that conceals many unexplored and unproven conjectures to which mathematicians are trying to find answers and proofs for hundreds of years. In this thesis, we give some of many unproven claims related to perfect and prime numbers. Although they are simple and easy to understand, and therefore interesting to mathematicians and amateurs, they are very difficult to prove. Some of the most famous open questions in this thesis are related to the infinity of perfect numbers, prime and complex Fermat numbers, prime and complex Mersenne numbers and twin primes whose forms, properties and most famous theorems are mentioned. With modern computers, very large numbers of those forms have been discovered, but the strict mathematical proof that there are infinitely many numbers of this form is still missing. The most famous and oldest conjecture is definitely the famous Goldbach‘s conjecture: ”Any even integer greater than 2 can be expressed as the sum of two primes”, which has been a real challenge for mathematicians since 1742. There are many results that point to the exactness of known open questions and many mathematicians, trying to prove these claims, came to other important results and proves, using the results of number theory but also other branches of mathematics. Since they have not been proved for hundreds of years, in this thesis we are not going to answer the famous questions, but we will give some interesting historical facts, show some attempts of proving them and state famous theorems and results given out of the open questions.

• Ključne riječi: savršeni brojevi; prosti brojevi; Goldbachova slutnja; Fermatovi brojevi; Mersenneovi brojevi; parovi blizanaca
• Ključne riječi (engleski): perfect numbers; prime numbers; Goldbach‘s conjecture; Fermat numbers; Mersenne numbers; twin primes
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:089886
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2018-02-01 14:21:46