Integracija na kompaktnim Riemannovim plohama

diplomski rad

• Autor: Barbara Bošnjak
• Mentor: Goran Muić (mentor)
• Član povjerenstva: Goran Muić (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Boris Guljaš (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Dražen Adamović (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Dijana Ilišević (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2017-07-19, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

U ovom radu izlažemo teoriju Riemannovih ploha. U prvom poglavlju uvodimo definiciju Riemannovih ploha i funkcija na njima. Potom dajemo osnovne primjere Riemannovih ploha kao što su Riemannova sfera, kompleksni torus i glatke afine/projektivne ravninske krivulje. Također navodimo primjere meromorfnih funkcija na spomenutim primjerima Riemannovih ploha. Za Riemannovu sferu smo pokazali da je svaka meromorfna funkcija na njoj racionalna funkcija. Na kompleksnom torusu primjer meromorfnih funkcija je omjer translatiranih theta funkcija, dok su na glatkim afinim/projektivnim ravninskim krivuljama primjeri meromorfnih funkcija omjeri polinoma - homogenih istog stupnja u projektivnom slučaju. Nadalje, proučavamo holomorfna preslikavanja među Riemannovim plohama. Uvodimo pojam stupnja holomorfnog preslikavanja među kompaktnim Riemannovim plohama kojim algebarski argumenti daju uvid o geometrijskim svojstvima ploha. Primjerice, ako je preslikavanje među kompaktnim Riemannovim plohama stupnja 1, onda su one izomorfne. Kako su Riemannove plohe lokalno izomorfne s otvorenim podskupom od \(\mathbb{C}\), prirodno se postavlja pitanje vrijede li klasični teoremi kompleksne analize u teoriji Riemannovih ploha. Odgovor je potvrdan; neke teoreme možemo direktno prenijeti, neki poprimaju jednostavniji oblik, dok postoje i teoremi svojstveni samo Riemannovim plohama koji se odnose na kompaktne Riemannove plohe. U drugom poglavlju obrađujemo integraciju na Riemannovim plohama. Najvažnija konstrukcija u ovom poglavlju je konstrukcija diferencijalnih formi na Riemannovoj plohi, a provodimo ju kroz teoriju snopova. Nakon toga defniramo integriranje diferencijalnih 1 i 2 formi i lako pokazujemo da je dobro definirano. Glavni teorem ovog poglavlja je teorem o reziduumima koji je od fundamentalne važnosti za teoriju kompaktnih Riemannovih ploha i dokaz njezine poveznice s algebarskom geometrijom.

Sažetak (engleski)

In this paper we present theory of Riemann surfaces. In first chapter we introduce definition of Riemann surfaces and functions on them. Then we give basic examples of Riemann surfaces such as Riemann sphere, complex torus and smooth affine/projective plane curves. Also, we determine meromorphic functions on mentioned examples of Riemann surfaces. For Riemann sphere we showed that every meromorphic function on it is rational function. On complex torus example of meromorphic function is ratio of translated theta functions, while on smooth affine/projective plane curves example of meromorphic function is ratio of polynomials - homogeneous of the same degree in projective case. Furthermore, we study holomorphic maps between Riemann surfaces. We introduce concept of degree of holomorphic map between compact Riemann surfaces which we use to get information about geometry of Riemann surface through algebraic argument. For example, if map is of degree 1, than Riemann surfaces are isomorphic. Since Riemann surfaces are locally isomorphic with open subsets of \(\mathbb{C}\), question whether classical theorems of complex analysis are true in theory of Riemann surfaces comes naturally. The answer is affirmative; some theorems we can be transfered directly, some come in simpler form, while there are theorems inherent only to theory of Riemann surfaces since they are concerning compact Riemann surfaces. In second chapter we study integration on Riemann surfaces. The most important construction in this chapter is construction of differential forms on Riemann surface which is done by the theory of sheaves. After that, we define integration of differential 1 and 2 forms and we easily show that integration is well defined. The main theorem of this chapter is Residue theorem which is of fundamental importance for theory of compact Riemann surfaces and for the proof of its connection with algebraic geometry.

• Ključne riječi: Riemannove plohe; Riemannova sfera; kompleksni torus; glatke afine/projektivne ravninske krivulje; holomorfno preslikavanje među Riemannovim plohama; integracija na Riemannovim plohama; teorem o reziduumima
• Ključne riječi (engleski): Riemann surfaces; Riemann sphere; complex torus; smooth affine/projective plane curves; holomorphic maps between Riemann surfaces; integration on Riemann surfaces; Residue theorem
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:753300
• Studijski program: Naziv: Teorijska matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2018-04-24 13:01:06