Fermat-Steinerov problem

diplomski rad

• Autor: Monika Cikojević
• Mentor: Juraj Šiftar (mentor)
• Član povjerenstva: Juraj Šiftar (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Filip Najman (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Sanja Varošanec (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Ozren Perše (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2015-09-24, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Fermat-Steinerov problem je klasičan matematički problem kojim se niz matematičara bavio još od 17. stoljeća. Problem se sastoji u određivanju takve točke u ravnini zadanog trokuta da zbroj njezinih udaljenosti od vrhova trokuta bude minimalan. Zanimljivo je da se rješenje može naći potpuno različitim pristupima, od čisto geometrijskih, preko diferencijalnog računa, do praktičnog mehaničkog rješenja u kojem se koristi princip minimalne energije. Motivacija i za osnovni i za težinski problem može se pronaći u primjenama za različite zadatke optimizacije, npr. tri sela ili tri tvornice. Pokazuje se da se Fermat-Steinerova točka, koja predstavlja rješenje problema, može geometrijski karakterizirati i na druge zanimljive načine. Nadalje, razmatra se inverzni problem težinskog Fermat-Steinerova problema u kojem se za zadanu točku unutar trokuta ispituje postojanje težina takvih da je upravo ta točka rješenje. Iznijeli smo više različitih dokaza kako bismo prikazali povijesni razvitak pristupa problemu i njegovim generalizacijama. Time smo ujedno željeli pokazati ljepotu i raznovrsnost matematičkog promišljanja.

Sažetak (engleski)

The Fermat-Steiner problem is a classical mathematical problem which numerous mathematicians have dealt with since the 17th century. The gist of the problem is determining such a point in the plane of a given triangle, so that the sum of the distances between that point and the vertices of the triangle is minimal. It is interesting that the solution can be found by completely different approaches, from purely geometric, by using calculus and by using practical mechanical method in which minimum energy principle is used. Motivation for the basic and weighted problem can be found in its usage for different optimization tasks, e.g. three villages or three factories. The Fermat-Steiner point, which is the solution of the problem, can be geometrically characterized in various interesting ways. Furthermore, the inverse problem of the weighted Fermat-Steiner problem is considered, in which it is investigated whether there exist such weights that a given point is the solution of the weighted problem. We have put forward various different proofs in order to show the historical development of the approach to the problem, and its generalizations. In that way we also wanted to show the beauty and diversity of mathematical thought.

• Ključne riječi: Fermat-Steinerova točka; zadaci optimizacije; težinski Fermat-Steinerov problem
• Ključne riječi (engleski): Fermat-Steiner point; optimization tasks; weighted Fermat-Steiner problem
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:407345
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Pristup korisnicima matične ustanove
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-01-07 10:21:24