Postojanje meromorfnih funkcija na Riemannovim plohama

diplomski rad

• Autor: Aleksandar Milivojević
• Mentor: Goran Muić (mentor)
• Član povjerenstva: Goran Muić (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Boris Širola (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Željka Milin-Šipuš (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Tina Bosner (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2015-07-10, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Ovaj rad je uvod u teoriju Riemannovih ploha. Definiramo Riemannove plohe i holomorfna preslikavanja medu njima i dokazujemo neka njihova osnovna svojstva. Zatim tehnikama iz kompleksne analize pristupamo pitanju postojanja meromorfnih funkcija na proizvoljnoj Riemannovoj plohi. Prouˇcavamo diferencijalne 1-forme i činimo dekompoziciju Hilbertovog prostora kvadratno integrabilnih 1-formi. Pomoću te dekompozicije dokazujemo da postoje meromorfne 1-forme s unaprijed zadanim singularitetima, odakle dobivamo i meromorfne funkcije. Zatim se usredotočimo na kompaktne Riemannove plohe. Definiramo algebarske krivulje, te ukratko izlažemo teoriju potrebnu da bi se iskazao Riemann-Rochov teorem, koji povezuje stupanj divizora i dimenziju pripadnog prostora meromorfnih funkcija na algebarskoj krivulji. Pomoću tog teorema dokazujemo da se svaka algebarska krivulja može uložiti u projektivan prostor, te komentiramo da prethodno dokazan rezultat o postojanju meromorfnih funkcija na Riemannovoj plohi povlači da je svaka kompaktna Riemannova ploha algebarska krivulja.

Sažetak (engleski)

This thesis is an introduction to the theory of Riemann surfaces. We define Riemann surfaces and holomorphic maps between them, and prove some basic properties. We then apply complex analytic techniques to address the question of existence of meromorphic functions on an arbitrary Riemann surface. We study differential 1-forms and decompose the Hilbert space of square-integrable 1-forms. Using this decomposition, we prove that there exist meromorphic 1-forms with prescribed singularities, whence we obtain the existence of meromorphic functions as well. Our focus then narrows to compact Riemann surfaces. We define algebraic curves, and then briefly expound the necessary theory to state the Riemann-Roch theorem, which links the degree of a divisor to the dimension of a related meromorphic function space on an algebraic curve. Applying this theorem, we prove that every algebraic curve can be embedded into projective space. We then comment on the fact that the previously proven result on the existence of meromorphic functions on Riemann surfaces implies that all Riemann surfaces are algebraic curves.

• Ključne riječi: meromorfne funkcije; Riemannove plohe; holomorfna preslikavanja; Riemann-Rochov teorem
• Ključne riječi (engleski): meromorphic functions; Riemann surfaces; holomorphic maps; Riemann-Roch theorem
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:680399
• Studijski program: Naziv: Teorijska matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-01-24 12:48:46