Primjena L-funkcija u teoriji brojeva

diplomski rad

• Autor: Marija Patljak
• Mentor: Filip Najman (mentor)
• Član povjerenstva: Filip Najman (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Andrej Dujella (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Ivica Nakić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Marcela Hanzer (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2016-02-25, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

U ovom radu je dokazan Dirichletov teorem, rezultat koji dokazuje kako aritmetički niz oblika \(kn + h \quad (h, k)=1, \quad n=0,1,2, \dots, \) sadrži beskonačno mnogo prostih brojeva. U prvom poglavlju su dane osnovne definicije i svojstva funkcija koje koristimo u radu. Najvažniji rezultat izveden u ovom poglavlju je dokaz Harolda N. Shapira da red \(\Sigma \, p^{-1} \log p\) divergira, gdje se sumira po svim prostim brojevima \(p\). Također, dokazani su i osnovni teoremi koji pokazuju kako je skup prostih brojeva beskonačan. U drugom poglavlju se upoznajemo s karakterima konačne Abelove grupe. Od velike važnosti za dokaz Dirichletovog teorema su Dirichletovi karakteri \(\chi\) i funkcija \(L(1, \chi)\). Osobito je bitan dokaz kako je \(L(1, \chi) \neq 0\) za sve realne netrivijalne karaktere \(\chi\). Sam dokaz Dirichletovog teorema je izveden u trećem, ujedno i posljednjem, poglavlju. Nizom lema smo dokazali Dirichletov teorem kao posljedicu Shapirove formule (iz prvog poglavlja), proširene uvjetom na proste brojeve \(p\) kongruentne s \(h\) modulo \(k\).

Sažetak (engleski)

This thesis proves Dirichlet’s theorem, a result that states that any arithmetic progression of the form \(kn + h \quad (h, k)=1, \quad n=0,1,2, \dots, \) contains infinitely many primes. In the first chapter we give basic definitions and properties of functions that are used in this thesis. The most important result derived in this section is the proof by Harold N. Shapiro that shows that the series \(\Sigma \, p^{-1} \log p\), extended over all primes, diverges. Also, the basic theorems that show that the set of prime numbers is infinite are proven. In the second chapter we become familiar with characters of finite Abelian groups. Of great importance for the proof of Dirichlet’s theorem are Dirichlet characters \(\chi\) and the functions \(L(1, \chi)\). It is particularly important to know that \(L(1, \chi) \neq 0\) for all real nonprincipal characters \(\chi\). The proof of Dirichlet’s theorem is carried out in the third, and the last, chapter. Through series of lemmas we prove Dirichlet’s theorem as a consequence of Shapiro’s formula (from the first chapter), extended over all primes \(p\) which are congruent to \(h\) mod \(k\).

• Ključne riječi: Dirichletov teorem; Shapirova formula; konačne Abelove grupe
• Ključne riječi (engleski): Dirichlet’s theorem; Shapiro’s formula; finite Abelian groups
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:907159
• Studijski program: Naziv: Financijska i poslovna matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-01-29 09:36:03