Konformalna preslikavanja

diplomski rad

• Autor: Antonija Pehar
• Mentor: Marcela Hanzer (mentor)
• Član povjerenstva: Marcela Hanzer (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Boris Guljaš (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Ilja Gogić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Goran Muić (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2016-09-27, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Najvažniji rezultat ovog diplomskog rada je Riemannov teorem o preslikavanju. Prije njegovog dokaza, u početnom poglavlju definirali smo sama konformalna preslikavanja. Nakon toga smo proučili razlomljene linearne transformacije i njihovu povezanost sa tim preslikavanjima. Važnu ulogu u dokazu Riemannovog teorema o preslikavanju imale su normalne familije koje smo definirali u trećem poglavlju i dokazali sljedeće: ako je \(F \subset H(\Omega)\) i \(F\) je uniformno ograničena na svakom kompaktnom podskupu područja \(\Omega\), onda je \(F\) normalna familija. Nakon sto smo definirali i konformalno ekvivalentna područja, mogli smo dokazati Riemannov teorem o preslikavanju. U petom poglavlju definirali smo klasu \(S\) koju čine sve \(f \in H(U)\) koje su injekcije na \(U\) i za koje vrijedi \(f(0)=0, f'(0)=1\), te smo pokazali neka svojstva te klase. U poglavlju "Neprekidnost na rubovima" definirali smo jednostavne rubne točke i dokazali sljedeću tvrdnju: ako je \(\Omega\) ograničeno jednostavno povezano područje u kompleksnoj ravnini i ako je svaka rubna točka od \(\Omega\) jednostavna, tada se svako konformalno preslikavanje iz \(\Omega\) na \(U\) može proširiti na homeomorfizam iz \(\overline{\Omega}\) na \(\overline{U}\). U posljednjem poglavlju bavili smo se konformalnim preslikavanjima kružnih vijenaca i dokazali zanimljivo svojstvo: kružni vijenci \(A(r_1, R_1)\) i \(A(r_2, R_2)\) su konformalno ekvivalentni ako i samo ako je \(R_1/r_1=R_2/r_2\).

Sažetak (engleski)

The most important result of this diploma thesis is the Riemann mapping theorem. Before we could prove it, we defined the conformal mappings in the first chapter. After that we studied linear fractional transformations and their connection with those mappings. The important part of proving the Riemann mapping theorem are normal families which we defined in the third chapter. We also proved that if \(F \subset H(\Omega)\) and \(F\) is uniformly bounded on every compact subset of the region \(\Omega\); then \(F\) is a normal family. After we defined conformally equivalent regions, we could prove the Riemann mapping theorem. In the fifth chapter we defined the class \(S\) ; which is the class of all \(f \in H(U)\) which are one-to-one in \(U\) and satisfy \8f(0)=0, f'(0)=1\), and proved some of its properties. In the chapter "Continuity at the boundary" we defined simple boundary points and proved the next statement: if \8\Omega\) is a bounded simply connected region in the plane and if every boundary point of \(\Omega\) is simple, then every conformal mapping of \(\Omega\) onto \(U\) extends to a homeomorphism off \(\Omega\) onto \(U\). In the last chapter we studied the conformal mapping of an annulus and proved this interesting property: \(A(r_1, R_1)\) and \(A(r_2, R_2)\) are conformally equivalent if and only if \(R_1/r_1=R_2/r_2\).

• Ključne riječi: konformalna preslikavanja; Riemannov teorem o preslikavanju; konformalno ekvivalentna područja
• Ključne riječi (engleski): conformal mappings; Riemann mapping theorem; conformally equivalent regions
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:692618
• Studijski program: Naziv: Matematička statistika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-01-29 11:28:35