Teoremi ulaganja Soboljevljevih prostora i primjene

diplomski rad

• Autor: Ana Radošević
• Mentor: Mladen Jurak (mentor)
• Član povjerenstva: Mladen Jurak (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Maja Starčević (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Marko Vrdoljak (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Nenad Antonić (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2014-12-08, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

U ovom radu dokazali smo teoreme ulaganja Soboljevljevih prostora \(W^{k,q}\) u \(L^p\) prostore (ili čak Hölderove prostore, ako je \(kq > n\), gdje je \(n\) dimenzija prostora \(\mathbb{R}^n\)) na ograničenim (dovoljno glatkim) domenama. Među njima je posebno važan Rellich-Kondrachovljev teorem, koji osigurava kompaktnost određenih ulaganja, što smo u dva primjera iskoristili za dokaz egzistencije rješenja nelinearnih rubnih zadaća. Prvi je primjer kvazilinearna eliptička PDJ s homogenim rubim uvjetom \begin{align*} \begin{cases} -\Delta u + b(Du) + \mu u =0 &\text{na } \Omega\\ u = 0 & \text{na } \partial \Omega, \end{cases} \end{align*} gdje je \(\Omega\) ograničena domena klase \(C^2\). Pretpostavili smo da je \(b : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) Lipschitzova te zadovoljava uvjet na rast \(\left| b(p) \right| \leq C(\left| p \right| + 1)\) za neki \(C\) i za sve \(p \in \mathbb{R}^n\). Egzistencija rješenja \(u \in H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega\)) ove zadaće pokazana je pomoću Schauderovog teorema o fiksnoj točki, čija je pretpostavka kompaktnosti odgovarajućeg operatora osigurana kompaktnošću ulaganja \(H^2(\Omega) \subset H^1(\Omega)\). Drugi je primjer stacionarna Navier-Stokesova zadaća, također s homogenim rubnim uvjetom, na ograničenoj glatkoj domeni \(\Omega\), \begin{align*} \begin{cases} -\mu \Delta \textbf{u} + (D \textbf{u})\textbf{u} + \text{grad } p = \textbf{f} &\text{na } \Omega\\ div \: \textbf{u} = 0 &\text{na } \Omega\\ \textbf{u} = 0 &\text{na } \Gamma, \end{cases} \end{align*} gdje su vektorska funkcija \(\textbf{u} = (u_1, \dots , u_n)\) i skalarna funkcija \(p\) tražene funkcije, dok je \(\textbf{f}\) zadana. Ovdje je egzistencija rješenja pokazana pomoću Galerkinove metode, dakle konstruirali smo ograničen niz aproksimativnih rješenja te na limesu nekog njegovog podniza dobili rješenje. Za to nam je bila potrebna kompaktnost ulaganja \(H_0^1(\Omega) \subset L^2(\Omega)\).

Sažetak (engleski)

In this thesis we proved the Sobolev embedding theorems of spaces \(W^{k,q}(\Omega)\) in \(L^p\) spaces (or even Hölder spaces, when \(kq > n\), where \(n\) is the dimension of \(\mathbb{R}^n\)) on bounded (smooth enough) domains. Among them, the Rellich-Kondrachov Theorem is particularly important, since it provides compactness of certain embeddings, which we have used in two examples to prove the existence of solutions of nonlinear boundary problems. The first example is the quasilinear elliptic PDE with homogeneous boundary condition \begin{align*} \begin{cases} -\Delta u + b(Du) + \mu u =0 &\text{on } \Omega\\ u = 0 & \text{on } \partial \Omega, \end{cases} \end{align*} where \(\Omega\) is a bounded domain of class \(C^2\). We assumed that \(b : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) is Lipschitz continous and satisfies the growth condition \(\left| b(p) \right| \leq C(\left| p \right| + 1)\) for some \(C\) and all \(p \in \mathbb{R}^n\). The existence of a solution \(u \in H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega)\) of this problem is shown using Schauder’s Fixed Point Theorem, whose assumption of compactness of the corresponding operator is secured by the compactness of the embedding \(H^2(\Omega) \subset H^1(\Omega)\). The second example is the stationary Navier-Stokes problem, also with homogeneous boundary condition, on a bounded smooth domain \(\Omega\), \begin{align*} \begin{cases} -\mu \Delta \textbf{u} + (D \textbf{u})\textbf{u} + \text{grad } p = \textbf{f} &\text{on } \Omega\\ div \: \textbf{u} = 0 &\text{on } \Omega\\ \textbf{u} = 0 &\text{on } \Gamma, \end{cases} \end{align*} where the vector function \(\textbf{u} = (u_1, \dots , u_n)\) and the scalar function \(p\) are required functions, while \(\textbf{f}\) is given. Here the existence of a solution is shown using the Galerkin method, i.e. we have constructed a bounded sequence of approximate solutions and got the solution as the limit of its subsequence. To do this, we needed the compactness of the embedding \(H_0^1(\Omega) \subset L^2(\Omega)\).

• Ključne riječi: teoremi ulaganja Soboljevljevih prostora; Hölderovi prostori; Rellich-Kondrachovljev teorem; Schauderov teorem o fiksnoj točki; Galerkinova metoda
• Ključne riječi (engleski): Sobolev embedding theorems of spaces; Hölder spaces; Rellich-Kondrachov Theorem; Schauder’s Fixed Point Theorem; Galerkin method
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:771305
• Studijski program: Naziv: Primijenjena matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-02-01 11:54:04