Načelo kompaktnosti i koncentracije u varijacijskom računu

diplomski rad

• Autor: Mia Jukić
• Mentor: Nenad Antonić (mentor)
• Član povjerenstva: Nenad Antonić (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Mladen Jurak (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Marko Vrdoljak (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Boris Muha (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2016-09-12, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

U ovom su radu opisani različiti rezultati teorije kompaktnosti koncentracijom i teorije interpolacije. Rad se sastoji od 4 poglavlja. U prvom je poglavlju dan kratki pregled funkcijskih prostora i rezultata koje ćemo koristiti u kasnijim poglavljima. U drugom smo poglavlju dali uvod u teoriju interpolacije; detaljno smo objasnili realnu i kompleksnu interpolacijsku metodu te smo pokazali glavna svojstva interpolacijskih prostora. U trećem su poglavlju dani glavni rezultati teorije kompaktnosti koncentracijom u Hilbertovom prostoru. Nadalje, pokazali smo kako pomoću navedenog teorema dokazati egzistenciju rješenja nelinearne Schrödingerove jednadžbe. U četvrtom smo poglavlju poopćili definiciju D-slabe konvergencije u Banachovim prostorima, definirali smo pojam kokompaktnosti te smo pomoću rezultata iz teorije interpolacije dokazali kokompaktnost ulaganja prostora \(W^{\alpha, p}\hookrightarrow L^q\).

Sažetak (engleski)

In this thesis we describe various results of concentration compactness principle and theory of interpolation. The thesis consists of four chapters. A short overview of function spaces that are to be used in later chapters is given in the first one. In the second chapter we present classical real interpolation theory with focus on the so-called K-method as well as complex interpolation theory. The functional-analytic grounds of the concentration compactness are presented in the third chapter, followed by applications on nonlinear Schrödinger equation. In the final chapter we give a formulation for the concentration compactness method in Banach space, generalizing the Hilbert case described in the previous chapter. We also give definition of cocompactness, a useful weaker counterpart of compactness. We use techniques of interpolation spaces described in the second chapter to deduce results from known cocompact imbeddings for classical Sobolev spaces.

• Ključne riječi: teorija kompaktnosti koncentracijom; teorija interpolacije; Hilbertov prostor; nelinearna Schrödingerova jednadžba; Banachov prostor
• Ključne riječi (engleski): concentration compactness principle; theory of interpolation; Hilbert case; nonlinear Schrödinger equation; Banach space
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:866375
• Studijski program: Naziv: Primijenjena matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-02-04 09:28:47