Malfattijev problem

diplomski rad

• Autor: Mateja Šašo
• Mentor: Juraj Šiftar (mentor)
• Član povjerenstva: Sanja Varošanec (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Juraj Šiftar (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Mirko Polonijo (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Ozren Perše (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2015-09-24, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

U radu su izloženi glavni rezultati vezani uz klasični Malfattijev problem iz 1803. godine izrezivanja tri valjka iz uspravne trostrane prizme tako da njihov ukupni volumen bude maksimalan. Ovaj stereometrijski zadatak očito se svodi na planimetrijski problem smještavanja tri kruga unutar zadanog trokuta tako da njihova ukupna površina bude najveća moguća. Malfattijeva slutnja da optimalan raspored čine tri kružnice takve da se svake dvije dodiruju međusobno, a svaka pritom dira dvije stranice trokuta pokazala se pogrešnom, ali je potaknula razne konstrukcije takve konfiguracije kružnica, kao i izračunavanje njihova položaja primjenom algebarskih i geometrijskih metoda. Problem najveće površine pokazao se vrlo teškim te je cjelovito rješenje postignuto tek potkraj 20. stoljeća, rezultatom da pohlepni algoritam uvijek daje optimalan raspored kružnica, površine veće nego za Malfattijevu konfiguraciju.

Sažetak (engleski)

In this diploma thesis we exhibit the main results related to the classical Malfatti’s problem (1803.) of cutting out three cylinders with maximal total volume out of a triangular prism. This stereometric riddle can obviously be reduced to the planimetric problem of placing three circles inside a given triangle so that they cover the largest possible area. Malfatti’s conjecture that the optimal arrangement is achieved for three circles such that each one is tangent to the other two and to two sides of the triangle turned out to be wrong. However, this assumption initiated various constructions of such a configuration of circles, as well as calculations of their position using algebraic and geometric methods. The problem of maximizing the area proved to be very hard and the complete solution was accomplished in the late 20th century. The result shows that a greedy algorithm always yields the optimal arrangement of circles, with the corresponding area larger than the one obtained by the Malfatti’s configuration.

• Ključne riječi: klasični Malfattijev problem; izrezivanje tri valjka iz uspravne trostrane prizme tako da njihov ukupni volumen bude maksimalan; stereometrija; problem najveće površine
• Ključne riječi (engleski): classical Malfatti’s problem; cutting out three cylinders with maximal total volume out of a triangular prism; stereometric; problem of maximizing the area
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:149362
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-02-08 12:51:39