Komutativni prsteni

diplomski rad

• Autor: Marina Zrno
• Mentor: Ozren Perše (mentor)
• Član povjerenstva: Ozren Perše (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Ivica Nakić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Zvonimir Tutek (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Vedran Krčadinac (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2014-07-14, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Centralni pojam ovog diplomskog rada je komutativan prsten, jedna od osnovnih algebarskih struktura u matematici. U Poglavlju 1 uvodimo neke osnovne definicije koje će nam biti potrebne za daljnje analize, kao na primjer, domene i polje razlomaka. Poseban naglasak smo stavili na prsten polinoma. Poglavlje 2 počinje s definicijom polinoma, vodećih koeficijenata polinoma, stupnja polinoma i prstena polinoma. U Poglavlju 3 ćemo vidjeti da, kada je k polje, svi poznati teoremi koji vrijede u Z; imaju analogon u k[x]; štoviše, vidjet ćemo da se svi poznati dokazi mogu prenijeti ovdje. Prezentiramo algoritam dijeljenja za polinome s koeficijentima iz polja. U Poglavlju 4 ćemo promatrati ona preslikavanja koja 'čuvaju strukturu'; tj., preslikavanja među prstenima koja respektiraju obje operacije, zbrajanje i množenje u prstenu. Zatim uvodimo pojam ideala u prstenu, koji čini centralno mjesto u teoriji prstena. U Poglavlju 5 uvodimo pojam Euklidovog prstena i donosimo važan teorem koji kaže da je svaki Euklidov prsten domena glavnih ideala. U Poglavlju 6 definiramo kvocijentni prsten i navodimo Prvi teorem o izomorfizmu za prstene. U Poglavlju 7 i Poglavlju 8 uvodimo dva zanimljiva tipa ideala: proste ideale i maksimalne ideale. Onda ćemo, nakon što uvedemo pojam domene s jedinstvenom faktorizacijom, dokazati da je svaka domena glavnih ideala domena s jedinstvenom faktorizacijom.

Sažetak (engleski)

The main focus of this work are commutative rings, which are one of the basic algebraic structures in mathematics. In Chapter 1 we introduce some basic definitions that will be needed for further analysis, like for example, domains and fraction fields. In this work we give a special attention to the ring of polynomials. Chapter 2 begins with definitions of polynomial, leading coefficient of polynomial, degree of polynomial and ring of polynomials. In Chapter 3 we are going to see that, when k is a field, virtually all the familiar theorems valid in Z have polynomial analogs in k[x]; moreover, we shall see that the familiar proofs can be translated into proofs here. We present division algorithm for polynomials with coefficients in a field. In Chapter 4 we observe those mappings that preserve the structure, the (ring) homomorphism. Afterwards we introduce the notion of ideals that makes the central point in the theory of rings. Chapter 5 defines euclidean ring and proves that every euclidean ring is a principal ideal domain. Chapter 6 defines quotient ring and proves first isomorphism theorem. Chapter 7 and Chapter 8 introduce two interesting type of ideals: prime and maximal ideals in commutative rings, and define unique factorization domains. Afterwards we are going to prove a common generalization: Every principal ideal domain has a unique factorization.

• Ključne riječi: komutativan prsten; prsten polinoma; ideal; Euklidov prsten; kvocijentni prsten; Prvi teorem o izomorfizmu za prstene
• Ključne riječi (engleski): commutative rings; ring of polynomials; ideals; euclidean ring; quotient ring; first isomorphism theorem
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:318988
• Studijski program: Naziv: Matematička statistika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-02-20 14:26:50