Primjena linearnih formi u logaritmima na rješavanje diofantskih jednadžbi

diplomski rad

• Autor: Marina Ilić
• Mentor: Alan Filipin (mentor)
• Član povjerenstva: Alan Filipin (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Slaven Kožić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Marko Vrdoljak (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Zrinka Franušić (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2018-11-28, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

U ovom diplomskom radu, bavimo se primjenom linearnih formi u logaritmima na rješavanje diofantskih problema. Na početku rada iskazujemo osnovne pojmove i definicije koje su nam potrebne u nastavku rada. U drugom poglavlju obrađujemo rezultate iz diofantskih aproksimacija koji se koriste u rješavanju diofantskih jednadžbi. Nadalje, u trećem poglavlju definiramo Pellovu i pellovsku jednadžbu. Također, dokazujemo niz teorema o egzistenciji i strukturi rješenja navedenih jednadžbi. U posljednjem poglavlju bavimo se linearnim formama, tj. jednom od modernih metoda rješavanja diofantskih jednadžbi. Linearna forma u logaritmima algebarskih brojeva je izraz oblika \(b_{1}\log{\alpha_{1}} +...+ b_{n}\log{\alpha_{n}}\), gdje su \(\alpha_{i}\) algebarski brojevi, a \(b_{i}\) cijeli brojevi. Prilikom rješavanja diofantskih jednadžbi želimo odrediti donju ogradu za linearnu formu u logaritmima. Pritom, za određivanje donje ograde koristimo Bakerovu teoriju. Na primjerima ćemo pokazati kako koristimo linearne forme u logaritmima za rješavanje simultanih pellovskih jednadžbi te kako ih primjenjujemo na Fibonaccijeve brojeve.

Sažetak (engleski)

In this graduate thesis, we are dealing with linear forms in logarithms to solve Diophantine problems. At the beginning of this thesis we present the basic concepts and definitions we need to continue the work. In the second chapter, we discuss the results of Diophantic approximations used in solving Diophantine equations. Furthermore, in the third chapter we define the Pell’s and generalized Pell equations. We also prove a series of theorems about existence and structure of the solutions of the equations mentioned. In the last chapter, we are dealing with linear forms, one of the modern methods of solving Diophantine equations. Linear form in logarithms of algebraic numbers is a form expression \(b_{1}\log{\alpha_{1}} +...+ b_{n}\log{\alpha_{n}}\), where \(\alpha_{i}\) are algebraic numbers, and \(b_{i}\) integers. When solving Diophantine equations, we want to determine the lower fence for linear form in logarithms. In doing so, we use Baker’s theory to determine the bottom fence. In the examples we will show how we use linear forms in logarithms to solve simultaneous generalized Pell equations and how we apply them to Fibonacci numbers.

• Ključne riječi: linearne forme; diofantski problemi; diofantske jednadžbe; Pelleova jednadžba; pellovska jednadžba; Bakerova teorija; Fibonaccijevi brojevi
• Ključne riječi (engleski): linear forms; Diophantine problems; Diophantine equations; Pell’s equations; generalized Pell’s equations; Baker’s theory; Fibonacci numbers
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:444909
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-05-09 11:35:40