Lucasov teorem

diplomski rad

• Autor: Mihaela Laljek
• Mentor: Tomislav Pejković (mentor)
• Član povjerenstva: Tomislav Pejković (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Goranka Nogo (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Maja Starčević (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Ivica Nakić (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2018-09-25, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Francuski matematičar Édouard Lucas ustanovio je 1878. jednostavnu metodu izračunavanja vrijednosti binomnog koeficijenta \(m \choose n\) modulo prost broj \(p\) pomoću znamenaka zapisa prirodnih brojeva \(m\) i \(n\) u bazi \(p\). Jedan od iskaza Lucasovog teorema glasi: Ako su \(m= m_{k} p^{k}+m_{k-1} p^{k-1}+ \cdots +m_{1}p+m_{0}\) i \(n = n_{k} p^{k}+n_{k-1} p^{k-1}+\cdots+n_{1}p+n_{0}\) zapisi nenegativnih cijelih brojeva \(m\) i \(n\) u bazi \(p\), gdje je \(p\) prost broj, onda je \[\binom{m}{n} \equiv \prod_{i=0}^k {m_{i}\choose n_{i}} \pmod p.\] Ovaj diplomski rad podijeljen je na četiri poglavlja. U prvom poglavlju navodimo osnovne pojmove i tvrdnje potrebne za razumijevanje nastavka rada. U drugom poglavlju navodimo iskaz Lucasovog teorema, a zatim ga dokazujemo na algebarski i kombinatorni način. U trećem poglavlju prikazujemo neke primjene Lucasovog teorema, dok je posljednje poglavlje posvećeno generalizacijama.

Sažetak (engleski)

French mathematician Édouard Lucas established in 1878 a simple method of computing binomial coefficient \(m \choose n\) modulo a prime number \(p\) using the digits of base \(p\) representation of integers \(m\) and \(n\). One statement of Lucas’ theorem is the following. If \(m= m_{k} p^{k}+m_{k-1} p^{k-1}+ \cdots +m_{1}p+m_{0}\) and \(n = n_{k} p^{k}+n_{k-1} p^{k-1}+\cdots+n_{1}p+n_{0}\) are expansions of non-negative integers \(m\) and \(n\) in base \(p\), where \(p\) is a prime, then \[\binom{m}{n} \equiv \prod_{i=0}^k {m_{i}\choose n_{i}} \pmod p.\] This graduate thesis is divided into four chapters. In the first one we introduce basic terms and claims necessary to understand the rest of the thesis. In the second chapter we present the statement of Lucas’ theorem and then we prove it algebraically and combinatorially. In the third chapter we present some applications of Lucas’ theorem, while the last chapter is devoted to its generalizations.

• Ključne riječi: binomni koeficijent; Lucasov teorem
• Ključne riječi (engleski): binomial coefficient; Lucas’ theorem
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:937505
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-05-31 10:08:37