Točnost i numerička stabilnost direktnih metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi

diplomski rad

• Autor: Diana Šenjug
• Mentor: Nela Bosner (mentor)
• Član povjerenstva: Nela Bosner (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Vjeran Hari (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Tina Bosner (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Zvonimir Bujanović (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2018-11-27, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Glavna tema ovog rada je točnost koju možemo očekivati kada sustav linearnih jednadžbi \(Ax = b\), gdje je \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \), rješavamo u aritmetici konačne preciznosti na računalu. Kao prvo, obradili smo teoriju perturbacije za sustave linearnih jednadžbi u kojoj se daje odgovor na pitanje koliko je rješenje sustava osjetljivo na perturbacije ulaznih podataka \(A\) i \(b\). Nadalje ta teorija daje povratnu grešku izračunate aproksimacije rješenja, i procjenjuje ogradu za njezinu grešku unaprijed. Nakon toga posvetili smo se analizi numeričke stabilnosti direktnih metoda za rješavanje sustava, baziranih na \(LU\) faktorizaciji. Ta analiza daje povratnu grešku za dobivenu aproksimaciju rješenja preko direktne metode, koja se potom uklapa u teoriju perturbacije za dobivanje greške unaprijed. Rezultat analize diktira koji parametri mogu utjecati na numeričku stabilnost algoritma.

Sažetak (engleski)

The main subject of this thesis is accuracy we can expect when we solve the system of linear equations \(Ax = b\), where \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \), in finite precision arithmetic on a computer. First, we have elaborated the perturbation theory for linear equation systems in which we describe how sensitive the system solution is to the perturbation of input data \(A\) and \(b\). Further, this theory gives a backward error of the approximation of the solution, and estimates the bound for its forward error. After that we are devoted to the analysis of the numerical stability of direct methods for solving the system, based on \(LU\) factorization. This analysis gives a backward error to the resulting approximation of the solution via a direct method, which is then inserted in the perturbation theory to get the forward error. The result of the analysis dictates which parameters can affect the numerical stability of the algorithm.

• Ključne riječi: sustav linearnih jednadžbi; aritmetika konačne preciznosti; teorija perturbacije; analiza numeričke stabilnosti
• Ključne riječi (engleski): system of linear equations; finite precision arithmetic; perturbation theory; analysis of numerical stability
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:172035
• Studijski program: Naziv: Primijenjena matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup; Datum isteka embarga: 2021-06-28
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-06-28 10:40:38