Klasični rezultati globalne teorije ravninskih krivulja

diplomski rad

• Autor: Mateo Grabovac
• Mentor: Ilja Gogić (mentor)
• Član povjerenstva: Ilja Gogić (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Vedran Krčadinac (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Igor Ciganović (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Boris Guljaš (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2019-09-26, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Izoperimetrijska nejednakost, Hopfov teorem o indeksu rotacije i Teorem o četiri tjemena su jedni od glavnih rezultata koje su matematičari otkrili proučavajući globalna svojstva ravninskih krivulja u okvirima diferencijalne geometrije. U ovom diplomskom radu dajemo prikaz osnova teorije ravninskih krivulja te dokazujemo tri navedena teorema. Glavni dio ovog rada je podijeljen na šest poglavlja. U prvom poglavlju definiramo kruta i neprava euklidska gibanja, dok u drugom poglavlju definiramo krivulje i prikazujemo neka njihova osnovna svojstva. U trećem poglavlju koncentriramo se samo na ravninske krivulje i za njih definiramo pojmove orijentirane zakrivljenosti, kutne funkcije i indeksa rotacije. U istom poglavlju dokazujemo i fundamentalni teorem za ravninske krivulje. U četvrtom i petom poglavlju redom dokazujemo Hopfov teorem o indeksu rotacije i Izoperimetrijsku nejednakost, dok u zadnjem poglavlju uvodimo pojam tjemena krivulje i konačno dokazujemo Teorem o četiri tjemena.

Sažetak (engleski)

Isoperimetric inequality, Hopf’s winding theorem and the Four vertex theorem are one of the main results discovered by mathematicians while studying the global properties of plane curves in the framework of differential geometry. In this graduate thesis we present basics of the theory of plane curves and prove the three aforementioned theorems. The main part of this paper is divided into six chapters. In the first chapter we define rigid and non-rigid Euclidean motions, while in the second chapter we define curves and present some of their basic properties. In the third chapter, we focus only on the plane curves and for them we define the concepts of oriented curvature, angular function and winding number. In the same chapter we also prove the fundamental theorem for plane curves. In the fourth and fifth chapter we prove the Hopf’s winding theorem (Hopf’s Umlaufsatz) and the Isoperimetric inequality, respectively, while in the last chapter we introduce the concept of a vertex of a curve and finally prove the Four vertex theorem.

• Ključne riječi: ravninske krivulje; diferencijalna geometrija; izoperimetrijska nejednakost; Hopfov teorem o indeksu rotacije; teorem o četiri tjemena; fundamentalni teorem za ravninske krivulje
• Ključne riječi (engleski): plane curves; differential geometry; isoperimetric inequality; Hopf’s winding theorem; Four vertex theorem; fundamental theorem for plane curves
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:560233
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2020-01-30 11:07:10