Periodic homogenization for Levy-type processes

disertacija

• Naslov (hrvatski): Periodička homogenizacija za procese Levyjevog tipa
• Autor: Ivana Valentić
• Mentor: Nikola Sandrić (mentor)
• Član povjerenstva: Vanja Wagner (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Nikola Sandrić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Kristina Ana Škreb (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2020, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika
• Univerzalna decimalna klasifikacija (UDC): 51 - Matematika

Sažetak

The main goal of this thesis is to discuss periodic homogenization of a Lévy-type pseudodifferential operator. Our approach to this problem is based on probabilistic techniques. More precisely, as the main result we show that the appropriately centered and scaled Lévy-type process (LTP) generated by this operator converges weakly to a Brownian motion with covariance matrix given in terms of the operator coefficients. We specially focus on a class of Lévy-type processes admitting “small jumps” only and a class of diffusion processes having degenerate diffusion term. These results generalize and refine the classical and well-known results related to periodic homogenization of diffusion process and of Lévy-type process in balanced form. In order to resolve these problems, it is necessary to combine both probabilistic and analytical approaches and tools, such as theory of semimartingales, stochastic stability theory and theory of integro-differential equations.

Sažetak (hrvatski)

Glavni cilj ove disertacije je diskutirati periodičku homogenizaciju pseudo-diferencijalnog operatora Lévyjevog tipa. Naš pristup ovom problemu bazira se na vjerojatnosnim metodama. Preciznije, kao glavni rezultat dokazujemo da odgovarajuće centriran i skaliran proces Lévyjevog tipa generiran takvim operatorom slabo konvergira prema Brownovom gibanju s kovarijacijskom matricom danom u terminima koeficijenata operatora. Posebno se koncentriramo na klasu procesa Lévyjevog tipa koji dozvoljavaju samo “male skokove” i na klasu procesa difuzija s degeneriranim difuzijskim koeficijentom. Ti rezultati generaliziraju i produbljuju klasične i dobro poznate rezultate vezane uz periodičku homogenizaciju difuzije i procesa Lévyjevog tipa u balansiranom obliku. Kako bismo razriješili ove probleme nužno je kombinirati vjerojatnosni i analitički pristup i metode, kao što su teorija semimartingala, teorija stohastičke stabilnosti i teorija integro-diferencijalnih jednadžbi.

• Ključne riječi: Brownian motion; Markov processes; Lévy-type processes; Feller processes; semimartingales; ergodicity; central limit theorem; homogenization; stochastic differential equations; partial differential equations; Itô’s formula; Feynman-Kac formula; Poisson equation
• Ključne riječi (hrvatski): Brownovo gibanje; Markovljevi procesi; Procesi Lévyjevog tipa; Fellerovi procesi; semimartingali; ergodičnost; centralni granični teorem; homogenizacija; stohastičke diferencijalne jednadžbe; parcijalne diferencijalne jednadžbe; Itôva formula; Poissonova jednadzba; Feynman-Kacova formula
• Jezik: engleski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:462190
• Datum promocije: 2020
• Studijski program: Naziv: Matematika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: poslijediplomski doktorski; Akademski / stručni naziv: doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika (dr. sc.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Opseg: v, 121 str.
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2020-12-04 12:57:48