| Abstract | This doctoral thesis deals with semilinear equations for non-local operators in bounded domains in higher dimensions: For a bounded domain \(D \subset \mathbb{R}^d, d \geq 2\), a non-local operator \(L\), and a function \(f : D \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), the following problem is being solved \(Lu(x) = f (x, u(x)), x \in D\), (1) where we also impose boundary conditions in \(D^c\) and/or on \(\partial D\), depending on the type of the non-local operator \(L\). The first type of non-local operators that are studied are infinitesimal generators of transient subordinate Brownian motions. Here the domain \(D\) can be any bounded domain in \(\mathbb{R}^d , d \geq 2\), and we impose boundary conditions both in \(D^c\) and on \(\partial D\). A Martin representation formula for non-negative generalized harmonic functions is proved and a new type of boundary trace operator for this non-local setting is developed. A solution to the problem (1) is found for a large class of functions \(f\) and conditions on \(f\) are given such that there is no solution to (1). The second type of non-local operators that are observed are infinitesimal generators of subordinate killed Brownian motions. Here a smoothness assumption on the boundary of the domain \(D\) is imposed as well as the boundary condition on \(\partial D\) in addition to (1). An integral representation formula for non-negative harmonic functions is given and also an equivalence between non-negative harmonic functions and non-negative functions that satisfy a certain mean-value property with respect to the underlying subordinate killed Brownian motion is established. A solution to the problem (1) is found for a large class of functions \(f\) and conditions on \(f\) are given such that there is no solution to (1). |
| Abstract (croatian) | U ovoj disertaciji proučavaju se semilinearne jednadžbe za nelokalne operatore u omeđenim domenama u višim dimenzijama, tj. u omeđenoj domeni \(D \subset \mathbb{R}^d, d \geq 2\), i za nelokalni operator \(L\), i funkciju \(f : D \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), rješava se sljedeći problem \(Lu(x) = f (x, u(x)), x \in D\), (2) gdje još dodatno, u ovisnosti o tipu nelokalnog operatora \(L\), postavljamo i rubne uvjete na \(D^c\) i/ili na \(\partial D\). Prvi tip nelokalnog operatora koji se promatra je infinitezimalni generator prolaznog subordiniranog Brownovog gibanja pri čemu je Laplaceov eksponent subordinatora potpuna Bernsteinova funkcija koja zadovoljava slabo skaliranje u beskonačnosti. Problem ( 2) se promatra u proizvoljnoj omeđenoj domeni \(D\), a rubni uvjeti su dani i na \(D^c\) i na \(\partial D\). Kako bi se problem (2) uspješno riješio, prvo se razvijaju pomoćne tehnike i objekti. Proučavaju se generalizirane harmonijske funkcije u odnosu na dani proces subordiniranog Brownovog gibanja te se pokazuje da su takve generalizirane harmonijske funkcije glatke te da ih pripadni operator \(L\) poništava u slabom smislu. Također, proučava se i relativna oscilacija kvocijenta generaliziranih harmonijskih funkcija te se uz pomoć toga pokazuje Martinova integralna reprezentacija nenegativnih generaliziranih harmonijskih funkcija. Kao dio dokaza te reprezentacije, definira se i novi tip rubnog operatora, tj. operatora traga, koji je pogodan za analizu semilinearnog problema i za generalnije nelokalne operatore, a definicija mu ne zahtjeva glatkoću ruba domene \(D\). Nakon tih pripremnih rezultata, razvija se metoda sub- i superrješenja za (2) koja se potom primjenjuje na nelinearnost \(f\) koja zadovoljava ocjenu jf \( |f(x,t)| \leq \rho(x) \Lambda (|t|), x \in D, t \in \mathbb{R}\), (3) uz određene uvjete integrabilnosti funkcija \(\rho\) i \(\Lambda\). Glavni oslonac u rješavanju problema (2) je pristup s gledišta teorije potencijala pa je tako rješenje problema (2) prikazano kao suma Greenovog, Poissonovog i Martinovog potencijala. U slučaju glatkog ruba domene \(D\), daju se istančaniji uvjeti na funkciju \(f\) uz koje problem (2) ima rješenje. Također, daje se i uvjet na \(f\) uz koji problem nema rješenja. Kako bi bilo moguće dati ljepše uvjete na \(f\) , dobivene su i oštre ograde za Greenov, Poissonov i Martinov integral. Svi rezultati uspoređuju se s poznatim rezultatima u slučaju frakcionalnog Laplaceovog operatora. Drugi tip nelokalnog operatora koji se promatra dolazi kao infinitezimalni generator subordiniranog ubijenog Brownovog gibanja te je i ovdje Laplaceov eksponent subordinatora potpuna Bernsteinova funkcija koja zadovoljava slabo skaliranje u beskonačnosti. Ovaj operator spektralnog je tipa te se u disertaciji pokazuje da može biti definiran spektralno, točkovno, ali i slabo (distribucijski), uz ekvivalentnost definicije kada operator djeluje na dovoljno glatkim funkcijama. Iz Greenove funkcije za dani nelokalni operator pomoću derivacije na rubu u smjeru normale definira se i Poissonova jezgra. Poissonova jezgra intenzivno se koristi kako bi se pokazala integralna reprezentacija nenegativnih harmonijskih funkcija s obzirom na dani nelokalni operator. Također, pokazuje se i 1-1 korespondencija između nenegativnih klasičnih harmonijskih funkcija i nenegativnih harmonijskih funkcija s obzirom na promatrano subordinirano ubijeno Brownovo gibanje. Prije nego se napadne semilinearan problem, pokazuje se nekoliko rezultata regularnosti Poissonovog i Greenovog integrala. Semilinearni problem (2) rješava se uz pomoć Katove nejednakosti dokazane u disertaciji za ovaj tip nelokalnog operatora. Razvija se metoda sub- i superrješenja za (2). Metoda se primjenjuje na razne tipove funkcija \(f\) gdje je ponovno uvedena pretpostavka da funkcija \(f\) zadovoljava ocjenu (3) uz određene uvjete integrabilnosti funkcija \(\rho\) i \(\Lambda\). Osim metode sub- i superrješenja, daje se primjer upotrebe metode monotonih iteracija. Na kraju se promatra specijalan slučaj spektralnog frakcionalnog Laplaceovog operatora te nelinarnost polinomnog tipa \(f(x,t)= \pm t^p\) za koje se može dobiti oštra ograda na parametar \(p \in \mathbb{R}\) za koju jednadžba ( ˇ 2) ima rješenje, tj. možemo iskazati u kojim slučajevima jednadžba ( ˇ 2) nema rješenje. |
