Topološka svojstva poluizračunljivih skupova

master's thesis

• Title (english): Topological properties of semicomputable sets
• Author: Tea Arvaj
• Mentor: Zvonko Iljazović (mentor)
• Committee member: Zvonko Iljazović (predsjednik povjerenstva)
• Committee member: Vedran Čačić (član povjerenstva)
• Committee member: Matija Kazalicki (član povjerenstva)
• Committee member: Matej Mihelčić (član povjerenstva)
• Granter: University of Zagreb; Faculty of Science; (Department of Mathematics); Zagreb
• Defense date and country: 2023-09-22, Croatia
• Scientific / art field, discipline and subdiscipline: NATURAL SCIENCES; Mathematics

Abstract

U ovom diplomskom radu proučavamo izračunljive metričke prostore, s posebnim naglaskom na poluizračunljive skupove u izračunljivim metričkim prostorima. Prvo se bavimo teorijom rekurzivnih funkcija sa \(\N^k\) u \(\N^m\) i rekurzivno prebrojivim skupovima u \(\N^k\) te proširujemo pojam rekurzivnosti na funkcije sa \(\N^k\) u \(\Z, \Q\) i \(\R\). Definiramo pojmove izračunljive točke, izračunljivog niza i izračunljivog skupa u \(\R\). Obrađujemo i rekurzivne rekurzivno omeđene funkcije, koje koristimo u raznim dokazima u drugom poglavlju. U drugom poglavlju uvodimo pojam izračunljivog metričkog prostora te proširujemo pojmove izračunljive točke, niza i skupa na apstraktni izračunljiv metrički prostor. Definiramo i izračunljivo prebrojive i poluizračunljive skupove u izračunljivom metričkom prostoru. To su dva različita poopćenja pojma izračunljivog skupa. Dokazujemo neke rezultate o njima koji će kasnije biti potrebni. Glavni rezultati ovog rada su tvrdnja da je poluizračunljiv luk s izračunljivim krajnjim točkama nužno izračunljiv te slična tvrdnja za lančasti kontinuum.

Abstract (english)

In this thesis we study computable metric spaces, with special focus on semicomputable sets in computable metric spaces. First we study the theory of recursive functions from \(\N^k\) to \(\N^m\) and recursively enunmerable sets in \(\N^k\). Also, we extend the notion of recursive functions to functions from \(\N^k\) to \(\Z, \Q\) and \(\R\). We define the concepts of computable points, computable sequences and computable sets in \(\R\). We also study recursive recursively bounded functions, which we use in proofs in the second chapter. In the second chapter we introduce the notion of a computable metric space and extend the notions of computable points, sequences and sets to abstract computable metric spaces. We also define countably enumerable and semicomputable sets in computable metric spaces. Those are two different generalizations of computable sets. We prove some results about those sets that we will need. At the end, we prove the main result, that a semicomputable arc with computable endpoints is necessarily a computable set, and a similar result for the chainable continua.

• Keywords: izračunljivi metrički prostori; teorija rekurzivnih funkcija; rekurzivno prebrojivi skupovi
• Keywords (english): computable metric spaces; theory of recursive functions; recursively countable sets
• Language: croatian
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:277450
• Study programme: Title: Applied Mathematics; Study programme type: university; Study level: graduate; Academic / professional title: sveučilišni magistar matematike (sveučilišni magistar matematike)
• Type of resource: Text
• File origin: Born digital
• Access conditions: Open access
• Created on: 2024-02-07 13:12:56