Singular BGG complexes for the symplectic case

doctoral thesis

• Title (english): Singularni BGG kompleksi za simplektički slučaj
• Author: Rafael Mrđen
• Mentor: Pavle Pandžić (mentor)
• Mentor: Vladimir Souček (komentor); strani drzavljanin: Nije dostupno
• Committee member: Dražen Adamović (predsjednik povjerenstva)
• Committee member: Pavle Pandžić (član povjerenstva)
• Committee member: Ivica Gusić (član povjerenstva); MBZ: 050461
• Granter: University of Zagreb; Faculty of Science; (Department of Mathematics); Zagreb
• Defense date and country: 2017-10-23, Croatia
• Scientific / art field, discipline and subdiscipline: NATURAL SCIENCES; Mathematics
• Universal decimal classification (UDC): 51 - Mathematics

Abstract

Let $G$ be a semisimple Lie group and $P$ its parabolic subgroup. It is well known that any finite-dimensional simple $G$-module allows a resolution by invariant differential operators acting between direct sums of homogeneous bundles over the generalized flag manifold $G/P$. Such a resolution is called the Bernstein-Gelfand-Gelfand (BGG for short) resolution. In the dual setting, this corresponds to the resolution of a finitedimensional simple $\mathfrak{g}$-module by direct sums of... More generalized Verma modules, which is also called the BGG resolution. Modules in the resolution have a regular infinitesimal character. Using the Penrose transform, we construct analogues of such resolutions in certain singular infinitesimal characters, in the holomorphic geometric setting, for type C. We take $G$ to be the symplectic group, $P$ its $|1|$-graded parabolic subgroup, so that $G/P$ is the Lagrangian Grassmannian. We explicitly describe the operators in the resolution, and determine their order. We prove the exactness of the constructed complex over the big affine cell. Less

Abstract (english)

Neka je $G$ poluprosta Liejeva grupa, te $P$ njena parabolička podgrupa. Poznato je da svaki konačno-dimenzionalan ireducibilan $G$-modul dozvoljava rezoluciju invarijantnim diferencijalnim operatorima koji djeluju među homogenim svežnjevima nad generaliziranom mnogostrukošću zastava $G/P$. Takve rezolucije zovu se Bernstein-Gelfand-Gelfand (kraće: BGG) rezolucije. U dualnom pristupu, to odgovara rezoluciji konačno-dimenzionalog ireducibilnog $\mathfrak{g}$-modula pomoću direktnih... More suma generaliziranih Vermaovih modula, koja se također zove BGG rezolucija. Moduli u rezoluciji su regularnog infinitezimalnog karaktera. Koristeći Penroseovu transformaciju, konstruiramo analogone takvih rezolucija u izvjesnim singularnim infinitezimalnim karakterima, u holomorfnoj geometrijskoj varijanti, za tip C. Dakle, $G$ je simplektička grupa, $P$ njezina $|1|$-graduirana parabolička podgrupa, te je $G/P$ Lagrangeov Grassmannian. Eksplicitno opisujemo operatore u rezoluciji, te određujemo njihov red. Dokazujemo egzaktnost dobivenog kompleksa nad velikom afinom ćelijom. BGG komplekse uveli su Joseph Bernstein, Israel Gelfand i Sergei Gelfand, u [BGG75]. Za bilo koju poluprostu Liejevu algebru $(\mathfrak{g}$ (konačno-dimenzionalnu, nad $\mathbb{C}$), konstruirali su, za svaki konačno-dimenzionalan ireducibilan $\mathfrak{g}$-modul $F$, rezoluciju koja se sastoji od direktnih suma Vermaovih modula, koji su inducirani s Borelove podalgebre. Najveće težine Vermaovih modula koje se javljanju u rezoluciji od $F$ podudaraju se s elementima orbite Weylove grupe (s afinim djelovanjem) najveće težine od $F$, a sama rezolucija ima istu strukturu usmjerenog grafa kao i Weylova grupa s Bruhatovim uređajem. Ta konstrukcija je generalizirana u radovima Jamesa Lepowskoga [Lep77] i Alvany Rocha-Caridi u [RC80], s Borelovog slučaja na slučaj proizvoljne paraboličke podalgebre. Oni su pokazali kako konstruirati BGG rezoluciju koja se sastoji od direktnih suma generaliziranih Vermaovih modula, koji su inducirani s proizvoljne paraboličke podalgebre $\mathfrak{p}$. Najveće težine generaliziranih Vermaovih modula koji se javljanju u rezoluciji odgovaraju $\mathfrak{p}$-dominantnim elementima u orbiti Weylove grupe, a oni se pak mogu parametrizirati određenim podskupom Weylove grupe koji se zove Hasseov dijagram paraboličke podalgebre $\mathfrak{p}$. Hasseov dijagram je neovisan o početnom $\mathfrak{g}$-modulu $F$, stoga se može zaključiti kako za fiksiranu Liejevu algebru $\mathfrak{g}$ i paraboličku podalgebru $\mathfrak{p}$, sve BGG rezolucije (u regularnom infinitezimalnom karakteru) imaju isti oblik. Poznato je da homomorfizmi generaliziranih Vermaovih modula korespondiraju (kontravarijantno) invarijatnim diferencijalnim operatorima koji djeluju među snopovima prereza homogenih vektorskih svežnjeva nad generaliziranom mnogostrukošću zastava $G/P$. Na ovoj geometrijskoj strani, BGG rezolucije su se prvo pojavile u radu Michaela Eastwooda [Eas85], no tada su bile konstruirane ad hoc, te je njihova veza s čisto algebarskim Vermaovim modulima uočena kasnije, [ER87] i Robert Bastonov članak [Bas91]. U posebnim slučajevima kada je parabolička podalgebra $|1|$-graduirana, što je ekvivalentno s činjenicom da $G/P$ ima strukturu Hermitski simetričnog prostora, holomorfni tangencijalni svežanj nad $G/P$ je ireducibilan, te se BGG rezolucija u trivijalnom infinitezimalnom karakteru podudara s holomorfnim de Rhamovim kompleksom. U višoj graduaciji, BGG rezolucija u trivijalnom infinitezimalnom karakteru je potkompleks holomorfnog de Rhamovog kompleksa – objekti su nižih dimenzija, no diferencijalni operatori mogu biti reda višeg od jedan. BGG kompleksi su sistematično proučavani u radu Andreasa Čapa, Jana Slováka i Vladimíra Součeka [ČSS01]. Oni su konstruirali BGG komplekse u općenitijoj teoriji zakrivljenih paraboličkih geometrija, [ČS09], za koje je naš $G/P$ poseban slučaj – tzv. ravni model. U ravnome modelu, njihova konstrukcija daje, za svaki konačno-dimenzionalan $G$-modul $F$, rezoluciju konstantnog snopa definiranog s $F$, sastavljenu od direktnih suma homogenih vektorskih svežnjeva i invarijantnih diferencijalnih operatora. Ova rezolucija je u određenom smislu dual od one koju su konstruirali Lepowsky i Rocha-Caridi. Nadalje, ove BGG rezolucije su lokalno egzaktne, dakle, rezolucije su u kategoriji snopova. Konstrukcija takvih BGG rezolucija je dalje proširena i pojednostavljena u radovima Davida Calderbanka and Tammoa Diemera u [CD01]. Mnogi važni diferencijalni operatori djeluju među homogenim svežnjevima singularnog infinitezimalnog karaktera (na primjer skalarni valni operator na prostoru Minkowskog, Dirac-Weylovi operatori na konformnim mnogostrukostima, Dirac-Feuterovi operatori na kvaternionskim mnogostrukostima, ...), stoga se ne mogu pronaći u prije spomenutim BGG rezolucijama. Ne postoje općenite konstrukcije tog tipa rezolucija u singularnom infinitezimalnom karakteru. U singularnom infinitezimalnom karakteru pojavljuje se nekoliko problema, jedan od kojih je nedostatak standardnih diferencijalnih operatora. U BGG rezolucijama u regularnom infinitezimalnom karakteru, svi diferencijalni operatori su standardni, što po definiciji znači da se mogu dobiti kao direktne slike, s obzirom na fibraciju $G/B \to G/P$ s pune mnogostrukosti zastava. Takvi operatori su, barem u principu potpuno poznati. No, singularni infinitezimalni karakter ima netrivijalan stabilizator u Weylovoj grupi, te stoga navedena direktna slika poništava mnoge diferencijalne operatore. Stoga, da bi se konstruirala rezolucija iz singularne orbite, potrebno je naći mnogo nestandardnih diferencijalnih operatora. Pokazalo se da je Penroseova transformacija, u formi koju su definirali Robert Baston i Michael Eastwood u [BE16], izrazito korisno sredstvo u konstrukciji nestandardnih invarijantnih diferencijalnih operatora. Robert Baston je započeo konstrukcije BGG rezolucija u singularnom infinitezimalnom karakteru pomoću Penroseove transformacije u [Bas92]. Radio je na kvaternionskim mnogostrukostima na kojima takozvani Cauchy-Riemann-Feuterov operator ima istu ulogu koju ima Cauchy-Riemannov operator na kompleksnim mnogostrukostima (jezgre tih operatora definiraju „dobre“ funkcije). U niskoj dimenziji, Cauchy-Riemann-Feuterov operator se podudara sa Dirac-Weylovim operatorom koji djeluje na spinorima, a taj je pak dobro poznat u teoriji twistora. Posebno, poznato je da jezgra tog operatora korespondira određenoj snopovskoj kohomološkoj grupi na prostoru twistora, a ta je korespondencija poznata kao klasična Penroseova transformacija. Baston je iskoristio Penroseovu transformaciju da konstruira analogon Dolbeaultovog kompleksa nad kvaternionskim mnogostrukostima – konačnu lokalno egzaktnu rezoluciju s homogenim svežnjevima i invarijantnim diferencijalnim operatorima, u kojoj je prvi operator točno Cauchy-Riemann-Feuterov. To je upravo BGG rezolucija u singularnom infinitezimalnom karakteru za tip A (kvaternionska mnogostrukost se modelira kao određen kvocijent od $GL(2n+2,\mathbb{C})$, s Dynkinovom notacijom $\begin{dynkin} \dynkinline{1}{0}{2}{0} \dynkinline{2}{0}{3}{0} \dynkinline{3}{0}{4}{0} \dynkindots{4}{0}{5}{0} \dynkindot{1}{0} \dynkincross{2}{0} \dynkindot{3}{0} \dynkindot{4}{0} \dynkindot{5}{0} \end{dynkin}$). Ponovo kao i u regularnom slučaju, najveće težine koje se javljaju u rezoluciji se podudaraju s Levi-dominantnim dijelom singularne orbite početne težine pod djelovanjem Weylove grupe. Iako se radi o $|1|$-graduiranoj situaciji, u singularnoj BGG rezoluciji se pojavljuju diferencijalni operatori reda dva, i točno ti su nestandardni. Lukáš Krump i Vladimír Souček proučavali su više graduiranu situaciju u [KS06], gdje je $G=Spin(2+2n,\mathbb{C})$ i njena realna forma $Spin(2,2n;\mathbb{R})$. Rezultat je poprilično drugačiji nego u kvaternionskom slučaju – ovdje se ne mogu sve točke u singularnoj orbiti pronaći u jednoj singularnoj BGG rezoluciji, te različite singularne BGG rezolucije mogu imati zajedničke točke. Vidi i [Sal17a], [Sal17b]. Nedavno su Pavle Pandžić i Vladimír Souček u [PS16] konstruirali singularne BGG rezolucije nad velikom afinom ćelijom, za tip A, te za sve $|1|$-graduirane paraboličke podalgebre, tj. sve kompleksne Grassmanniane. Iz konstrukcije je vidljivo da singularna BGG rezolucija pokriva cijelu singularnu orbitu, te nadalje, da singularna BGG rezolucija ima strukturu usmjerenog grafa istu kao i regularna u nižem rangu. Taj defekt u rangu jednak je dvostrukom broju zidova u kojima početna težina singularna leži. Također su opisani redovi diferencijalnih operatora koji se javljaju u rezoluciji. Slični rezultati dobiveni su i za tip C, čime se ova disertacija bavi. Ovdje je $G$ simplektička grupa $Sp(2n,\mathbb{C})$. Tu postoji samo jedna standardna $|1|$-graduirana parabolička podalgebra $\mathfrak{p}$, te je $G/P$ Lagrangeov Grassmannian (u Dynkinovoj notaciji: $\begin{dynkin} \dynkinline{1}{0}{2}{0} \dynkindots{2}{0}{3}{0} \dynkinline{3}{0}{4}{0} \dynkindoubleline{4}{0}{5}{0} \dynkindot{1}{0} \dynkindot{2}{0} \dynkindot{3}{0} \dynkindot{4}{0} \dynkincross{5}{0} \end{dynkin}$). No, ovdje imamo dvije vrste singularnosti: singularnost prve vrste uključuje samo kratke proste korijene, dok singularnost druge vrste uključuje i dugi prosti korijen. U samoj kontrukciji pretpostavljamo da je infinitezimalni karakter semi-regularan, tj. ortogonalan na točno jedan prosti korijen. Glavno sredstvo korišteno u konstrukciji invarijantnih diferencijalnih operatora jest Penroseova transformacija, u formi koju su definirali Robert Baston i Michael Eastwood u \cite{baston2016penrose}. Izabiremo takozvani prostor twistora $G/R$, te za zadani integralni semi-regularni infinitezimalni karakter $\lambda$ izabiremo konjugat od $\lambda$ s obzirom na Weylovu grupu od $G$ koji je $\mathfrak{r}$-dominantan, pa stoga definira homogeni vektorski svežanj $E$ nad $G/R$. Formiramo dvostruku fibraciju $$\xymatrix{ & G/Q \ar[dl] \ar[dr] \\ G/R & & G/P,}$$ gdje je $Q=R \cap P$. Izabravši „dobar“ otvoren podskup $X \subseteq G/P$ (najčešće afin ili Steinov), dobijemo restringiranu dvostruku fibraciju $$\xymatrix{ & Y \ar[dl] \ar[dr] \\ Z & & X.}$$ Određeni tehnički uvjeti moraju biti zadovoljeni: vlakna lijeve restringirane fibracije moraju biti glatko kontraktibilna, dok vlakna desne fibracije moraju biti kompaktna. Penroseova transformacija se tipično provodi u dva koraka: (a) Povlak (inverzna slika) snopa prereza od $E$ sa $Z$ na $Y$. Grubo govoreći, svaka kohomološka klasa na $Z$ se može shvatiti kao kohomološka klasa na $Y$ koja je konstantna na vlaknima od $Y \rightarrow Z$. Taj uvjet konstantnosti na vlaknima može se iskazati u terminima diferencijalnih jednadžbi. Ako su vlakna kontraktibilna, povlak je izomorfizam na kohomologiji, [Buc83]. (b) Potisak (direktna slika) na $X$. Inverznu sliku od $E$ na $Y$ rezolviramo takozvanom relativnom BGG rezolucijom $\Delta^\bullet$. To je zapravo kolekcija regularnih BGG rezolucija, po jedna na svakom vlaknu, koje su homogeno „spojene“. Detaljan opis relativnih BGG nizova dan je u [ČS16] i [ČS15]. Zatim uzimamo više (derivirane) direktne slike od $\Delta^\bullet$ duž fibracije $Y \to X$. One se lako računaju koristeći Bott-Borel-Weilov teorem (relativnu verziju). Ključni dio dolazi iz homološke algebre: takozvani spektralni niz hiperkohomologije (zajedno sa Lerayevim spektralnim nizom) ima na $E_1$ nivou globalne prereze viših direktnih slika od $\Delta^\bullet$, te konvergira u kohomologiju $H^\bullet(Z,E)$ na prostoru twistora. Diferencijali u tom sprektralnom nizu su upravo invarijantni diferencijalni operatori. Na nivou $E_1$ imamo standardne diferencijalne operatore, budući da su oni direktne slike diferencijala iz relativne BGG rezolucije. Ali na višim nivoima javljaju se nestandardni diferencijalni operatori. Penroseova transformacija koristi navedeni spektralni niz tako da interpretira $H^\bullet(Z,E)$ u terminima invarijantnih diferencijalnih jednadžbi na X. Kao i u [PS16], nestandardni diferencijalni operatori potrebni za singularnu BGG rezoluciju i u našem slučaju pojavljuju se na zadnjem nivou tog spektralnog niza, prije nego se isti stabilizira. Stoga kohomološke grupe $H^\bullet(Z,E)$ mjere razinu ne-egzaktnosti našeg singularnog kompleksa, do na određen pomak u stupnju. Dakle, problem se svodi na dokaz iščezavanja kohomologije $H^\bullet(Z,E)$ u određenim stupnjevima. To je riješeno Lerayjevim teoremom: $Z$ se može pokriti s precizno određenim brojem kohomološki trivijalnih otvorenih podskupova, što daje traženo iščezavanje kohomologije. U holomorfnoj kategoriji, takvi podskupovi poznati su kao Steinovi podskupovi, [GR12]. Less

• Keywords: BGG; Resolution; Homogeneous bundles; Invariant differential operators; Generalized Verma modules; Symplectic group; Lagrangian Grassmannian; Penrose transform
• Keywords (english): BGG; Rezolucija; Homogeni svežnjevi; Invarijantni diferencijali operatori; Generalizirani Vermaovi moduli; Simplektička grupa; Lagrangeov Grassmannian; Penroseova transformacija
• Language: english
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:709873
• Study programme: Title: Mathematics; Study programme type: university; Study level: postgraduate; Academic / professional title: doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika (doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika)
• Type of resource: Text
• Extent: xv, 107 str. ; 30 cm
• File origin: Born digital
• Access conditions: Open access
• Created on: 2017-12-01 11:33:04