Title Rotacijski skupovi preslikavanja na minimalnim podskupovima torusa Title (english) Rotational mapping sets on minimal torus subsets Author Josip Pupić Mentor Sonja Štimac (mentor)Committee member Sonja Štimac (predsjednik povjerenstva)Committee member Dijana Ilišević (član povjerenstva)Committee member Goran Radunović (član povjerenstva)Committee member Mea Bombardelli (član povjerenstva)Granter University of Zagreb Defense date and country 2020-09-28, Croatia Scientific / art field, NATURAL SCIENCES Abstract U ovom radu promatramo pojam rotacijskog skupa i neka njegova zanimljiva svojstva. Začetci ovog pojma leže u jednostavnijem pojmu rotacijskog broja, kojeg uvodi Poincare. Radi se o pojmu koji opisuje gibanje točaka pod iteracijama nekog homeomorfizma kružnice, odnosno njegovog podizanja, prirodno pridruženog preslikavanja na \(\mathbb{R}\) promatranom homeomorfizmu. Intuitivno, rotacijski broj predstavlja ”prosječni pomak” točke prilikom jedne iteracije našeg homeomorfizma. Taj pojam najprije generaliziramo do pojma rotacijskog skupa neprekidnih preslikavanja na višedimenzionalnom torusu, a potom se fokusiramo na slučaj rotacijskog skupa homeomorfizma na minimalnom podskupu dvodimenzionalnom torusu i konstuiramo primjer rotacijskog skupa koji separira ravninu, koristeći se metodama simboličke dinamike. Rad je strukturiran u tri poglavlja. U prvom poglavlju obrađujemo jednodimenzionalni slučaj, odnosno rotacijske brojeve homeomorfizama kružnice. Glavni rezultat prvog poglavlja je Denjoyev teorem koji, uz neke pretpostavke na promatrani homeomorfizam, zaključuje da je dinamika tog preslikavanja jednaka dinamici rotacije za iracionalni rotacijski broj promatranog homeomorfizma. U drugom poglavlju, proširujemo pojam rotacijskog broja na pojam rotacijskog skupa u višedimenzionalnom slučaju te pokazujemo niz svojstava rotacijskog skupa neprekidnog preslikavanja u \(\mathbb{R}˄m\), među kojima su najvažnija zatvorenost i povezanost. Naposljetku, fokusiramo se na podslučaj homeomorfizama na dvodimenzionalnom torusu, odnosno njihovih podizanja, gdje pokazujemo da vrijede nešto jača svojstva, među kojima je najvažnije konveksnost rotacijskog skupa. U trećem poglavlju ostajemo pri promatranju homeomorfizama na dvodimenzionalnom torusu i proširujemo pojam rotacijskog skupa podizanja F na rotacijski skup preslikavanja F na nekom podskupu torusa. Zatim pokazujemo da se gibanje točaka pod iteracijama podizanja F može simbolički reprezentirati nizovima znakova 0; 1; ::; N. Stvaranjem adektvatne podloge za poistovjećivanje simboličkih i dinamičkih rotacijskih skupova, problem traženja rotacijskog skupa sa željenim svojstvima svodimo na problem konstrukcije niza znakova s nekim karakteristikama, čiju konstrukciju potom i provodimo.
Abstract (english) In this paper we observe the notion of the rotational set and some of its interesting properties. Roots of this notion lie in the simpler notion of the rotational number, which was introduced by Poincar´e. The notion describes the motion of points iterated by some homeomorphism of a circle, or its lift, which is a mapping in \(\mathbb{R}\) naturally associated with the observed homeomorphism. Intuitively, the rotational number represents the ”average shift” of a point under a single iteration of our homeomorphism. That notion is firstly generalized to the notion of the rotational set of the continuous mapping in a higher-dimensional torus, after which we focus on the case of a rotational set of a homeomorphism on a minimal subset of the two-dimensional torus and construct an example of a plane-separating rotational set, using the methods of symbolical dynamics. The paper is organized into three chapters. In the first chapter we go over the one-dimensional case, i.e. the rotational number of the homeomorphism of a circle. The main result of the first chapter is Denjoy’s Theorem, which, along with some assumptions on the observed homeomophism, concludes that the dynamics of that mapping equals the dynamics of a rotation R\(_\rho\), for the irrational rotational number \(\rho\) of the observed homeomorphism. In the second chapter, we expand the notion of the rotational number to the notion of the rotational set in the multi-dimensional case and we show some of the properties of the rotational set of a continuous mapping in \(\mathbb{R}˄m\), most important of which are being closed and connected. Finally, we focus on the case of a homeomorphism on a two-dimensional torus and its lift, where we show some more powerful properties, most importantly that the rotational set is convex. In the third chapter, we continue observing the homeomorphisms on a two-dimensional torus and we expand the notion of the rotational set of mapping F to the notion of the rotational set of mapping F on some subset of the torus. Further, we show that the motion of the points being iterated by the lift F can be symbolically represented by sequences of symbols 0; 1; :::; N. By creating the appropriate frame for identification of symbolical and dynamical rotational sets, we transform the problem of constructing the rotational set with required properties to the problem of construction of a sequence of symbols with some characteristics, whose construction we then perform.
Keywords
rotacijski skup
homeomorfizam kružnice
rotacijski broj
metode simboličke dinamike
Denjoyev teorem
Keywords (english)
rotational set
homeomorphism of a circle
rotational number
methods of symbolical dynamics
Denjoy’s Theorem
Language croatian URN:NBN urn:nbn:hr:217:852877 Study programme Title: Mathematical Statistics Type of resource Text File origin Born digital Access conditions Open access Terms of use Created on 2021-03-04 12:15:35
