| Abstract | Ukratko, u ovom diplomskom radu proučavali smo neka svojstva eksponencijalne funkcije s naglaskom na njenu derivabilnost. Najprije smo definirali eksponencijalnu funkciju s bazom većom od 1, prvo smo za a > 0 definirali \(a^x\) za sve \(x \in \mathbb{N}\), potom za sve \(x \in \mathbb{Z}\), onda i za \(x \in \mathbb{Q}\), pri čemu smo dokazali da za svaki a > 0 i \(n \in \mathbb{N}\), postoji jedinstveni \(\sqrt[n]{a} \). Nadalje, definirali smo za a > 1 \(a^x\) za sve \(x \in \mathbb{R}\), proučavali smo konvergenciju nizova realnih brojeva te omeđene nizove u \(\mathbb{R}\). Potom smo proučavali neprekidnost eksponencijalne funkcije te posljedice koje ona ima na svojstva eksponencijalne funkcije. Također, dokazali smo da je eksponencijalna funkcija neprekidna, zatim smo došli do međuvrijednosti neprekidnih funkcija te koristeći dobivene rezultate dokazali smo da je eksponencijalna funkcija bijekcija, proučavali smo i pojmove limesa i derivacije funkcija te smo dokazali da vrijedi tzv. eksponencijalni zakon i definirali broj \(e\). Definirali smo logaritamsku funkciju s bazom većom od 1, proučavali smo derivabilnost eksponencijalne funkcije pa smo potom definirali eksponencijalnu funkciju s bazom manjom od 1, zatim logaritamsku funkciju s bazom manjom od 1 te smo dokazali neka svojstva tih funkcija. Na kraju smo dokazali da je funkcija ln derivabilna u točki 1 te, pomoću toga, došli smo do glavnog rezultata, a to je da je eksponencijalna funkcija derivabilna. |
| Abstract (english) | In short, in this thesis we have studied some properties of the exponential function, with an emphasis on its derivability. Foremost, we defined an exponential function with a base greater than 1, we first defined \(a^x\) fora > 0 for all \(x \in \mathbb{N}\), then for all \(x \in \mathbb{Z}\), and then for \(x \in \mathbb{Q}\), by which we have proved that for every a > 0 and \(n \in \mathbb{N}\), there exists a unique \(\sqrt[n]{a} \). Furthermore, we defined for a > 1 \(a^x\) for all \(x \in \mathbb{R}\), we studied the convergence of sequences of real numbers, as well as bounded sequences in \(\mathbb{R}\). Then we studied the continuity of the exponential function and consequences which it has on the properties of the exponential functions. Also, we proved that the exponential function is continuous, then we came to the intermediate value of continuous functions and, using the obtained results, proved that the exponential function is a bijection, we studied the concepts of limes and derivatives, proved that the so-called exponential law is valid and defined the number \(e\). We defined the logarithmic function with a base greater than 1, studied the derivability of the exponential function and then defined an exponential function with a base less than 1, then a logarithmic function with a base less than 1 and proved some properties of those functions. In the end, we proved that the function ln is derivable in the point 1 and, using that, came to the main result, which is that the exponential function is derivable. |
