Isogenies of elliptic curves over small degree number fields

doctoral thesis

• Title (croatian): Izogenije eliptičkih krivulja nad poljima algebarskih brojeva malog stupnja
• Author: Borna Vukorepa
• Mentor: Filip Najman (mentor)
• Committee member: Matija Kazalicki (predsjednik povjerenstva)
• Committee member: Filip Najman (član povjerenstva)
• Committee member: Nikola Adžaga (član povjerenstva)
• Committee member: Andrej Dujella (član povjerenstva)
• Granter: University of Zagreb; Faculty of Science; (Department of Mathematics); Zagreb
• Defense date and country: 2023, Croatia
• Scientific / art field, discipline and subdiscipline: NATURAL SCIENCES; Mathematics
• Universal decimal classification (UDC): 51 - Mathematics

Abstract

The main objects of interest in this thesis are elliptic curves and the objects related to them. We will mostly investigate the isogenies of elliptic curves over number fields of small degree, but we will also give some interesting results about the torsion of rational elliptic curves when the torsion is considered over some specific cyclotomic fields. Let $E/\mathbb{Q}$ be an elliptic curve and $p \leq 11$ a prime. We give a complete classification of the possibilities for... More $E(\mathbb{Q}(\zeta_p))$ as well as for $E(\mathbb{Q}(\zeta_{16}))$ and $E(\mathbb{Q}(\zeta_{27}))$. Using the previous result of Gužvić and Krijan [41], we are able to give a complete classification for $E(\mathbb{Q}(\mu_{p^\infty}))_{tors}$. Here, the set $\mu_{p^\infty}$ is the set of all complex numbers $\omega$ for which there exists non-negative integer $k$ such that $\omega^{p^k} =1$. Moving on to the isogenies, we can ask ourselves which cyclic isogeny degrees are possible for a non-CM elliptic curve $E/\mathbb{Q}$ if the isogeny is defined over a low degree number field. Since the presence of a (cyclic) isogeny is invariant under quadratic twisting, we actually determine which cyclic isogeny degrees are possible for a non-CM elliptic curve defined over a quadratic field $K$, but which has a rational $j$-invariant. Similarly, given a quadratic field $K$ and an elliptic curve $E/K$, we can ask ourselves which cyclic isogeny degrees are possible for $E$. We use the fact that the pairs $(E/K,C)$, where $C$ is a cyclic subgroup of $E$ defined over $K$, are parametrized by $K$-rational points on the modular curve $X_0(n)$. Hence, we should look for quadratic points on curves $X_0(n)$. We are able to determine all the quadratic points on all bielliptic curves $X_0(n)$ for which this has not been done before. This covers the cases $n = 60,62,69,79,83,89,92,94,95,101, 119,131$. Our proof relies a lot on the relative symmetric Chabauty’s method developed by Siksek [82] and used by Box [13] on a related problem. We also make some improvements to the method, both from the computational and algebraic perspective. The Magma [12] code which verifies our computations can be found on the links given at the beginning of each corresponding chapter. Less

Abstract (english)

Glavni objekti kojim se bavimo u ovoj disertaciji su eliptičke krivulje i objekti povezani s njima. Većinom ćemo proučavati izogenije eliptičkih krivulja nad poljima algebarskih brojeva malog stupnja, ali ćemo također dati i neke zanimljive rezultate vezane za torziju racionalnih eliptičkih krivulja, pri čemu torziju promatramo nad nekim specifičnim ciklotomskim poljima. Neka je $E/\mathbb{Q}$ eliptička krivulja i $p \leq 11$ prost broj. Potpuno ćemo klasificirati... More mogućnosti za $E(\mathbb{Q}(\zeta_p))$ kao i za $E(\mathbb{Q}(\zeta_{16}))$ i $E(\mathbb{Q}(\zeta_{27}))$. Kombinirajući to s prethodnim rezultatom Gužvića i Krijana [41], možemo potpuno klasificirati mogućnosti za $E(\mathbb{Q}(\mu_{p^\infty}))_{tors}$. Pritom, skup $\mu_{p^\infty}$ je skup svih kompleksnih brojeva ω za koje postoji nenegativan cijeli broj $k$ za koji je $\omega^{p^k} =1$. Prebacujući se na izogenije, možemo se pitati koji stupnjevi cikličkih izogenija su mogući za eliptičku krivulju bez kompleksnog množenja (non-CM) $E/\mathbb{Q}$ako je ta izogenija definirana nad poljem algebarskih brojeva malog stupnja. Kako je prisustvo (cikličke) izogenije invarijantno na kvadratni tvist, zapravo ćemo odrediti koji stupnjevi cikličkih izogenija su mogući za non-CM eliptičku krivulju definiranu nad kvadratnim poljem $K$ s racionalnom $j$-invarijantom. Slično, za neko kvadratno polje $K$ i eliptičku krivulju $E/K$, možemo se pitati koje stupnjeve cikličkih izogenija može imati $E$. Koristimo činjenicu da su parovi $(E/K,C)$, gdje je $C$ ciklička podgrupa od $E$ definirana nad $K$, parametrizirani $K$-racionalnim točkama na modularnoj krivulji $X_0(n)$. Dakle, trebamo tražiti kvadratne točke na krivulji $X_0(n)$. Uspješno ćemo odrediti sve kvadratne točke na svim bieliptičkim $X_0(n)$ za koje to nije napravljeno ranije. To obuhvaća slučajeve $n = 60,62,69,79,83,89,92,94,95,101, 119,131$. Naš dokaz se značajno oslanja na relativnu simetričnu Chabautyjevu metodu koju je razvio Siksek [82], a koristio Box [13] na povezanom problemu. Također ćemo napraviti neka poboljšanja te metode, gledano iz računske i algebarske perspektive. Magma [12] kodovi koji provjeravaju naše izračune se mogu naći na poveznicama na početku svakog pripadnog poglavlja. Less

• Keywords: isogenies; elliptic curves; number fields of small degree
• Keywords (english): izogenije; eliptičke krivulje; polja algebarskih brojeva malog stupnja
• Language: english
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:277052
• Study programme: Title: Mathematics; Study programme type: university; Study level: postgraduate; Academic / professional title: doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika (doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika)
• Type of resource: Text
• Extent: viii, 124 str.
• File origin: Born digital
• Access conditions: Open access
• Created on: 2023-03-01 12:48:35