Tangential homoclinic points locus of the Lozi maps and applications

doctoral thesis

• Title (croatian): Područje tangencijalnih homokliničkih točaka Lozijevih preslikavanja i primjene
• Author: Kristijan Kilassa Kvaternik
• Mentor: Sonja Štimac (mentor)
• Committee member: Maja Resman (predsjednik povjerenstva)
• Committee member: Goran Radunović (član povjerenstva)
• Committee member: Vesna Županović (član povjerenstva)
• Committee member: Zvonko Iljazović (član povjerenstva)
• Granter: University of Zagreb; Faculty of Science; (Department of Mathematics); Zagreb
• Defense date and country: 2022-10-21, Croatia
• Scientific / art field, discipline and subdiscipline: NATURAL SCIENCES; Mathematics
• Universal decimal classification (UDC): 51 - Mathematics

Abstract

In this thesis we consider the dynamics of the two-parameter Lozi family of planar homeomorphisms, more precisely, the relationship between the stable and unstable manifold of the hyperbolic fixed point $X$ of that family in the first quadrant together with their intersections, homoclinic points. We describe the zigzag structure which the stable manifold of $X$ forms in the third quadrant, prove that all homoclinic points in the border case are tangential and construct polygons bounded by... More the stable and unstable manifold of $X$ which allows us to conclude that all border homoclinic tangencies consist of iterates of two distinct points $T_0$ and $V_0$ which are the points at which the stable and the unstable manifold, starting from $X$, intersect the horizontal and vertical axis for the first time respectively. In addition, by posing analytic conditions on the stable and unstable manifold of $X$, we compute the equations of the first few curves representing the border of the set of existence of homoclinic points for that fixed point. The determined border is utilized for the introduction of a region in the parameter space for which there are no homoclinic points for $X$ and the period-two cycle is attracting. In this region we further investigate the unstable manifold of $X$, construct polygons which are in part bounded by it and invariant under the square of the Lozi map and in addition, prove that every part of the unstable manifold which is a finite polygonal line has an open neighborhood disjoint from its complement. We ultimately prove that the topological entropy of the Lozi map is zero for all parameter pairs in the mentioned region if the unstable manifold of $X$ intersects the coordinate axes at $T_0$ and its inverse image only. Along with this result, we also show that the topological entropy is zero on the complement of the accumulation set of the unstable manifold of $X$. These results expand the already known ones about the zero entropy locus by a large set of parameters. In addition, these results are used to observe the basin of attraction for the Lozi map. We turn our attention to the stable manifold of the fixed point $Y$ in the third quadrant: we prove that it intersects the horizontal axis at a point right to $T_0$ which implies that it tends to infinity and accumulates on the stable manifold of $X$ in the first quadrant. As a consequence, the stable manifold of $Y$ separates the plane into two connected components and we prove that the basin of attraction is contained in one of them. Less

Abstract (croatian)

U ovoj disertaciji promatramo dinamiku dvoparametarske Lozijeve familije homeomorfizama ravnine, preciznije, odnos stabilne i nestabilne mnogostrukosti hiperboličke fiksne točke $X$ te familije u prvom kvadrantu zajedno s njihovim presjecima, homokliničkim točkama. Opisujemo cik-cak strukturu koju stabilna mnogostrukost od $X$ tvori u trećem kvadrantu, dokazujemo da su sve homokliničke točke u graničnom slučaju tangencijalne i konstruiramo poligone omeđene stabilnom i nestabilnom... More mnogostrukosti od $X$ iz čega možemo zaključiti da se sve homokliničke točke u graničnom slučaju sastoje od iterata dviju istaknutih točaka $T_0$ i $V_0$, točaka u kojima stabilna i nestabilna mnogostrukost, krećući od $X$, redom sijeku horizontalnu i vertikalnu os po prvi put. Uz to, postavljajući analitičke uvjete na stabilnu i nestabilnu mnogostrukost od $X$, računamo jednadžbe prvih nekoliko krivulja u parametarskom prostoru koje predstavljaju granicu skupa egzistencije homokliničkih točaka za tu fiksnu točku. Izračunatu granicu možemo iskoristiti za uvođenje regije u parametarskom prostoru za koju ne postoje homokliničke točke za $X$ i ciklus perioda dva je privlačan. U ovoj regiji dalje istražujemo nestabilnu mnogostrukost od $X$, konstruiramo poligone djelomice omeđene njome i invarijantne za kvadrat Lozijevog preslikavanja te uz to, dokazujemo da je svaki dio nestabilne mnogostrukosti koji je poligonalna dužina ima otvorenu okolinu disjunktnu s njegovim komplementom. Ultimativno dokazujemo da je topološka entropija Lozijevog preslikavanja nula za sve parametarske parove u spomenutoj regiji ako nestabilna mnogostrukost od $X$ siječe koordinatne osi samo u točki $T_0$ i njenoj praslici. Uz taj rezultat pokazujemo i da je topološka entropija jednaka nuli na komplementu skupa gomilišta nestabilne mnogostrukosti od $X$. Ovi rezultati proširuju već postojeće o području entropije nula za velik skup parametara. Uz to, ovi rezultati se koriste kako bismo promatrali bazen atrakcije za Lozijevo preslikavanje. Sada pozornost skrećemo na stabilnu mnogostrukost fiksne točke $Y$ u trećem kvadrantu: dokazujemo da siječe horizontalnu os u točki desno od $T_0$ što povlači da teži u beskonačnost i gomila se na stabilnu mnogostrukost od $X$ u prvom kvadrantu. Kao posljedicu dobivamo da stabilna mnogostrukost od $Y$ dijeli ravninu na dvije komponente povezanosti te dokazujemo da je bazen atrakcije sadržan u jednoj od njih. Less

• Keywords: Lozi map; stable manifold; unstable manifold; homoclinic points; homoclinic tangency; topological entropy; basin of attraction
• Keywords (croatian): Lozijevo preslikavanje; stabilna mnogostrukost; nestabilna mnogostrukost; homoklinicke točke; homoklinička tangentnost; topološka entropija; bazen atrakcije
• Language: english
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:887608
• Study programme: Title: Mathematics; Study programme type: university; Study level: postgraduate; Academic / professional title: doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika (doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika)
• Type of resource: Text
• Extent: vii, 110 str.
• File origin: Born digital
• Access conditions: Open access
• Created on: 2023-03-01 13:29:08