Optimizacija svojstvenih vrijednosti Laplaceovog operatora

master's thesis

• Author: Kristina Bolfek
• Mentor: Marko Vrdoljak (mentor)
• Committee member: Marko Vrdoljak (predsjednik povjerenstva)
• Committee member: Josip Tambača (član povjerenstva)
• Committee member: Tina Bosner (član povjerenstva)
• Committee member: Boris Širola (član povjerenstva)
• Granter: University of Zagreb; Faculty of Science; (Department of Mathematics); Zagreb
• Defense date and country: 2015-11-26, Croatia
• Scientific / art field, discipline and subdiscipline: NATURAL SCIENCES; Mathematics

Abstract

U ovom radu dokazani su osnovni rezultati o ovisnosti svojstvenih vrijednosti Laplaceovog operatora o promatranoj domeni. Posebno, promatra se problem nalaženja domene koja minimizira prvu svojstvenu vrijednost. Prvo poglavlje daje pregled funkcijskih prostora korištenih u radu i osnovnih rezultata koji vrijede za te prostore. U drugom poglavlju definirali smo linearni eliptički operator drugog reda te mu pridružili rubne uvjete. Nadalje, iznijeli smo osnovni rezultat koji daje uvjete za egzistenciju rješenja svojstvenog problema te dokazali da ih linearni eliptički operator drugog reda (pa time i Laplaceov operator) zaista ispunjava. Sada kada smo osigurali egzistenciju svojstvenih vrijednosti i svojstvenih funkcija, promotrili smo njihove osnovne karakteristike i dokazali važne relacije koje će do izražaja doći u zadnjem poglavlju. U trećem poglavlju iznesen je skup alata koje smo koristili u zadnjem poglavlju rada. Najprije smo definirali Schwarzov preslog i Steinerovu simetrizaciju. Zatim smo promotrili kako svojstvene vrijednosti ovise o domeni i u tu svrhu definirali \(\gamma\)-konvergenciju i Hausdorffovu udaljenost skupova i tako došli do uvjeta dovoljnih za neprekidnost funkcija svojstvenih vrijednosti. Izložili smo i teoreme o egzistenciji domene na kojoj \(k\)-ta svojstvena vrijednost Laplaceovog operatora uz Dirichletov rubni uvjet poprima minimum i naveli nekoliko rezultata o derivacijama svojstvenih vrijednosti s obzirom na domenu. Naposljetku, u četvrtom poglavlju izložili smo poznatu Faber-Krahnovu nejednakost koja dokazuje da među svim domenama zadane površine, upravo kugla minimizira prvu svojstvenu vrijednost Laplaceovog operatora uz Dirichletov rubni uvjet. Isti smo problem promotrili u ravnini na mnogokutima sa zadanim brojem stranica, na domenama unutar nekog zadanog područja te na domenama s rupom. Također, naveli smo nekoliko otvorenih problema koji se nameću iz ovdje dokazanih rezultata.

Abstract (english)

This paper provides several basic results on behaviour of eigenvalues of the Laplacian operator with respect to the variations of the domain. In particular, the problem of finding a domain which minimizes the first eigenvalue was considered. The first chapter is a simple overlook of the function spaces used later on. The second section focused on recalling the basic results of the theory of elliptic partial differential equations. We stated an abstract result which provides existence of a solution of the eigenproblem and made sure the linear elliptic operator of second order satisfies its conditions. Once the existence of eigenvalues and corresponding eigenfunctions was ensured, we proved some of their properties which will come to the fore in the last chapter. The third chapter displays a set of tools used later on in the fourth chapter. We defined Schwarz rearrangement and Steiner symmetrization and then studied the continuity of the eigenvalues with respect to the domain. For this purpose the \(\gamma\)-convergence and the Hausdorff distance of sets were brought up. They obtained simple sufficient conditions ensuring continuity of eigenvalues. These motions enabled us to state two general existence theorems for minimization problems pertaining to eigenvalues of the Laplace operator with respect to Dirichlet boundary condition. Lastly, in the fourth chapter a well-known Faber-Krahn inequality was proved. It claims that the disk is a plane domain which minimizes the first eigenvalue of the Dirichlet-Laplacian, among domains of the same area. The same problem was considered on a class of plane polygons with a given number of sides, among sets in a box and on sets with one hole. Furthermore, few open problems concerning generalizations of proved results were mentioned.

• Keywords: Laplaceov operator; linearni eliptički operator; Schwarzov preslog; Steinerova simetrizacija; Hausdorffova udaljenost skupova; Dirichletov rubni uvjet; Faber-Krahnova nejednakost
• Keywords (english): Laplacian operator; linear elliptic operator; Schwarz rearrangement; Steiner symmetrisation; Hausdorff distance of sets; Dirichlet boundary condition; Faber-Krahn inequality
• Language: croatian
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:964338
• Study programme: Title: Applied Mathematics; Study programme type: university; Study level: graduate; Academic / professional title: magistar/magistra matematike (magistar/magistra matematike)
• Type of resource: Text
• File origin: Born digital
• Access conditions: Open access
• Created on: 2017-06-07 09:41:35