Inverse limit spaces of interval maps

doctoral thesis

• Title (croatian): Inverzni limesi preslikavanja na intervalu
• Author: Ana Anušić
• Mentor: Sonja Štimac (mentor)
• Mentor: Hendrik Bruin (komentor); VIAF: 118489655
• Committee member: Vesna Županović (predsjednik povjerenstva)
• Committee member: Maja Resman (član povjerenstva)
• Committee member: Hendrik Bruin (član povjerenstva); VIAF: 118489655
• Granter: University of Zagreb; Faculty of Science; (Department of Mathematics); Zagreb
• Defense date and country: 2019, Croatia
• Scientific / art field, discipline and subdiscipline: NATURAL SCIENCES; Mathematics
• Universal decimal classification (UDC): 51 - Mathematics

Abstract

This thesis studies topological properties of unimodal inverse limit spaces and planar embeddings of chainable continua in general. In the first part we study global and local properties of inverse limit spaces on the unit interval with a single bonding map coming from the tent family. We give symbolic description of arc-components and study the inhomogeneity points of the space. Specifically, we prove that the set of folding points is equal to the set of endpoints if and only if the critical... More orbit is persistently recurrent, answering the question of Alvin and Brucks from 2010. Also, we make a topological distinction of the arc-component containing the orientation reversing fixed point in the case when the critical orbit is non-recurrent which enables us to prove the Core Ingram conjecture in this case in the positive. To be more precise, we show that the cores of tent inverse limits for which the critical point is non-recurrent are non-homeomorphic for different slopes. The second part of the thesis studies non-equivalent planar embeddings of general chainable continua. We show that every chainable continuum which contains an indecomposable subcontinuum can be embedded in the plane in uncountably many strongly non-equivalent ways, and answer the question of Mayer from 1982 in the unimodal inverse limit case. We also study accessible sets of points of planar embeddings of chainable continua and give a positive answer to the question of Nadler and Quinn from 1972 in case when points are not contained in zigzags of bonding maps. Less

Abstract (croatian)

Inverzni limesi daju efikasnu metodu za opis prostora dobivenih kao presjek ugnježđenog niza skupova u pripadajućem metričkom prostoru i kao takvi nalaze primjenu u raznim matematičkim područjima. Istaknimo na primjer primjenu inverznih limesa u opisu hiperboličkih atraktora. U tezi proučavamo lančaste kontinuume, odnosno inverzne limese u kojima su vezne funkcije preslikavanja na intervalima. U prvom dijelu se restriktiramo na unimodalne inverzne limese i proučamo njihova topološka... More svojstva. Takvi kontinuumi se često pojavljuju kao modeli čudnih atraktora ravninskih homeomorfizama. U drugom dijelu dajemo metodu za konstrukciju različitih planarnih smještenja lančastih kontinuuma koristeći metodu permutacije grafova veznih preslikavanja. Preslikavanje na intervalu koje fiksira krajnje točke i ima jedinstveni ekstrem u interioru intervala zovemo unimodalno. U tezi se restriktiramo na šatorske funkcije, koje, unatoč tome što su vrlo specifične, gotovo u potpunosti opisuju dinamička i topološka svojstva od interesa. Zanimaju nas lokalna i globalna topološka svojstva šatorskih inverznih limesa. Lokalno nas zanimaju točke koje nemaju (otvorene) okoline homeomorfne Kantorovom skupu (otvorenih) lukova. Takve točke zovemo točke nabiranja. U tezi dajemo karakterizaciju točaka nabiranja u terminima dinamičkih svojstava veznog preslikavanja i, specijalno, podskupa čije elemente zovemo krajnje točke. To su točke $x$ za koje vrijedi da ako su $A, B$ podkontinuumi koji sadrže $x$, onda $A \subset B$ ili $B \subset A$. Dajemo odgovor na pitanje koje su 2010 postavili Alvin i Brucks, odnosno pokazujemo sljedeći teorem. Teorem 1.1. Svaka točka nabiranja je krajnja točka ako i samo ako je kritična točka veznog preslikavanja uporno rekurentna. Naglasimo kako se uporna rekurentnost pojavila kao nužan uvjet za postojanje divljih atraktora unimodalnih preslikavanja na intervalu. Pod globalna topološka svojstva podrazumijevamo strukturu podkontinuuma, kompozanti i lučnih komponenti. U ovom smjeru postoji još mnogo otvorenih pitanja. U tezi dajemo simboličku karakterizaciju lučnih komponenti koristeći svojstva posebnog tipa krajnjih točaka koje zovemo spiralne točke. Svojstva specijalne lučne komponente, koja sadrži fiksnu točku jezgre i postoji u svakoj jezgri šatorskih inverznih limesa, nam omogućavaju da damo potpunu karakterizaciju jezgara u slučaju kada je kritična orbita nerekurentna. Dokazujemo sljedeće teoreme. Teorem 1.3. Ako je $1 < s < \tilde{s} < 2$ i kritične orbite odgovarajućih šatorskih preslikavanja $T_s$ i $T_{\tilde{s}}$ su beskonačne i nerekurentne, onda su jezgre $X^{\prime}_s$ i $X^{\prime}_{\tilde{s}}$ nehomeomorfne. Teorem 1.4. Ako je $1 < s < 2$ takav da $T_s$ ima beskonačnu nerekurentnu kritičnu orbitu i $f : X^{\prime}_s \to X^{\prime}_s$ je homeomorfizam, onda postoji $R \in \mathbb{Z}$ takav da su $f$ i $\sigma^R$ izotopni. U drugom dijelu teze proučavamo neekvivalentna planarna smještenja lančastih kontinuuma u punoj općenitosti. Koristimo metodu permutacija grafova veznih preslikavanja i pomoću toga pokazujemo sljedeći teorem. Teorem 1.7. Svaki lančasti kontinuum koji sadrži indekompozabilni potkontinuum se može smjestiti u ravninu na neprebrojivo mnogo jako neekvivalentnih načina. Kažemo da su smještenja $\varphi, \psi$ jako neekvivalentna ako se $\varphi \circ \psi^-1$ može proširiti do homeomorfizma ravnine. Smještenja su slabo neekvivalentna ako postoji homeomorfizam $\varphi(X) \to \psi(X)$ koji se može proširiti do homeomorfizma ravnine. Mayer je 1982. godine pitao može li se svaki indekompozabilni lančasti kontinuum smjestiti u ravninu na neprebrojivo mnogo (slabo!) neekvivalentnih načina. Dajemo pozitivan odgovor na to pitanje u slučaju unimodalnih inverznih limesa. Bavimo se i pitanjem dostupnosti točaka. Točka $x$ planarnog kontinuuma $X$ je dostupna ako postoji luk $A \subset \mathbb{R}^2$ takav da je $A \cap X = \{x\}$. Konkretno se bavimo pitanjem Nadlera i Quinna iz 1972. i pokazujemo sljedeći teorem. Teorem 1.9. Ako je $X$ lančasti kontinuum i $x \in X$ takva da niti jedna projekcija nije u cik-caku veznog preslikavanja, onda postoji smještenje od $X$ u ravninu u kojem je $x$ dostupna. Na kraju razmatramo otvorena pitanja i dajemo moguće korake prema njihovom rješenju. Less

• Keywords: unimodal map; inverse limit space; endpoints; inhomogeneities; Ingram conjecture; chainable continua; planar embeddings; accessible points
• Keywords (croatian): unimodalno preslikavanje; inverzni limes; krajnje točke; točke nehomogenosti; Ingramova hipoteza; lančasti kontinuumi; planarna smještenja; dostupne točke
• Language: english
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:255744
• Study programme: Title: Mathematics; Study programme type: university; Study level: postgraduate; Academic / professional title: doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika (doktor/doktorica znanosti, područje prirodnih znanosti, polje matematika)
• Type of resource: Text
• Extent: iv, 121 str.
• File origin: Born digital
• Access conditions: Open access
• Created on: 2019-03-06 12:17:17