Točnost i numerička stabilnost direktnih metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi

master's thesis

• Author: Diana Šenjug
• Mentor: Nela Bosner (mentor)
• Committee member: Nela Bosner (predsjednik povjerenstva)
• Committee member: Vjeran Hari (član povjerenstva)
• Committee member: Tina Bosner (član povjerenstva)
• Committee member: Zvonimir Bujanović (član povjerenstva)
• Granter: University of Zagreb; Faculty of Science; (Department of Mathematics); Zagreb
• Defense date and country: 2018-11-27, Croatia
• Scientific / art field, discipline and subdiscipline: NATURAL SCIENCES; Mathematics

Abstract

Glavna tema ovog rada je točnost koju možemo očekivati kada sustav linearnih jednadžbi \(Ax = b\), gdje je \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \), rješavamo u aritmetici konačne preciznosti na računalu. Kao prvo, obradili smo teoriju perturbacije za sustave linearnih jednadžbi u kojoj se daje odgovor na pitanje koliko je rješenje sustava osjetljivo na perturbacije ulaznih podataka \(A\) i \(b\). Nadalje ta teorija daje povratnu grešku izračunate aproksimacije rješenja, i procjenjuje ogradu za njezinu grešku unaprijed. Nakon toga posvetili smo se analizi numeričke stabilnosti direktnih metoda za rješavanje sustava, baziranih na \(LU\) faktorizaciji. Ta analiza daje povratnu grešku za dobivenu aproksimaciju rješenja preko direktne metode, koja se potom uklapa u teoriju perturbacije za dobivanje greške unaprijed. Rezultat analize diktira koji parametri mogu utjecati na numeričku stabilnost algoritma.

Abstract (english)

The main subject of this thesis is accuracy we can expect when we solve the system of linear equations \(Ax = b\), where \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \), in finite precision arithmetic on a computer. First, we have elaborated the perturbation theory for linear equation systems in which we describe how sensitive the system solution is to the perturbation of input data \(A\) and \(b\). Further, this theory gives a backward error of the approximation of the solution, and estimates the bound for its forward error. After that we are devoted to the analysis of the numerical stability of direct methods for solving the system, based on \(LU\) factorization. This analysis gives a backward error to the resulting approximation of the solution via a direct method, which is then inserted in the perturbation theory to get the forward error. The result of the analysis dictates which parameters can affect the numerical stability of the algorithm.

• Keywords: sustav linearnih jednadžbi; aritmetika konačne preciznosti; teorija perturbacije; analiza numeričke stabilnosti
• Keywords (english): system of linear equations; finite precision arithmetic; perturbation theory; analysis of numerical stability
• Language: croatian
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:172035
• Study programme: Title: Applied Mathematics; Study programme type: university; Study level: graduate; Academic / professional title: magistar/magistra matematike (magistar/magistra matematike)
• Type of resource: Text
• File origin: Born digital
• Access conditions: Open access; Embargo expiration date: 2021-06-28
• Created on: 2019-06-28 10:40:38