Dinamika kompleksnih analitičkih funkcija

diplomski rad

• Naslov (engleski): Dynamics of complex analytical functions
• Autor: Dubravka Božić
• Mentor: Sonja Štimac (mentor)
• Član povjerenstva: Sonja Štimac (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Zvonko Iljazović (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Ljiljana Arambašić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Goran Muić (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2013-04-11, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

U prvom dijelu rada definiramo kompleksnu analitičku funkciju, navodimo osnovne rezultate kompleksne analize, topološke dinamike i upoznajemo se sa pojmom Riemannove sfere. Takoder, klasificiramo fiksne, odnosno periodičke točke čije orbite proučavamo u narednim poglavljima. Najvažniju ulogu u dinamici kompleksnih analitičkih funkcija imaju orbite odbojnih periodičkih točaka. Juliaov skup definiramo kao zatvorenje skupa svih odbojnih periodičkih točaka polinoma P, te dokazujemo da je on skup svih točaka u kojima familija iteracija polinoma P nije normalna familija. Iz dokaza tog teorem slijede gotovo sva svojstva Juliaovih skupova. Tako naprimjer vrijedi da je Juliaov skup polinoma P perfektan, potpuno invarijantan, neprazan skup, te da J(P) ima prazan interior. Vrijedi i da je J(P) zatvarač skupa svih praslika točke \(z_0\) iz J(P). Posebno, Juliaov skup je taj na kojemu polinom P ima kaotičnu dinamiku.

Sažetak (engleski)

In the first part of this paper we defined the complex analytic function, we outline the basic results of complex analysis, topological dynamics, and we are introduced to the concept of Riemann sphere. Also, we classify fixed (periodic) points whose orbits are studied in the following chapters. The most important role in the dynamics of complex analytic functions is played by the orbits of repelling periodic points. We defined the Julia set as the closure of the set of repelling periodic points of a polynomial P and give a proof that this set is a set of points at which the family of iterates of P fails to be normal family. Almost all of the properties of the Julia sets follow from that theorem. Thus, for example, the Julia set of a polynomial P is a perfect, completely invariant, nonempty set which has an empty interior. It is walid that J(P) is the closure of all preimages for point \(z_0\) from J(P). In particular, the Julia set is the set which carries the chaotic dynamics of polynomial P.

• Ključne riječi: Riemannova sfera; Juliaov skup; kaotična dinamika; Cantorov skup; zatvoreni interval; bazilika; dendrit; Mandelbrotov skup; Fatouov skup
• Ključne riječi (engleski): Riemann sphere; Julia set; chaotic dynamics; Cantor set; closed interval; basilica; dendrite; Mandelbrot set; Fatou's set
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:060676
• Studijski program: Naziv: Matematička statistika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2021-12-16 11:45:21