Uvod u Riemannovu hipotezu

diplomski rad

• Autor: Dino Bojmić
• Mentor: Zrinka Franušić (mentor)
• Član povjerenstva: Zrinka Franušić (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Ljiljana Arambašić (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Željka Milin-Šipuš (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Sanja Varošanec (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2014-07-11, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Riemannova zeta funkcija \(\zeta\), je funkcija kompleksne varijable s koja je analitičko produljenje beskonačnog reda \(\sum_{n=1}^\infty {\frac{1}{n^{s}}}\), koji konvergira za \(\Re(s)>1\). Riemannova hipoteza, koju je izrekao Bernhard Riemann 1859. godine, tvrdi da sve netrivijalne nultočke Riemannove zeta funkcije imaju realni dio jednak \(\frac{1}{2}\). Što to zapravo znači? Istinitost Riemannove hipoteze bi značila da možemo odrediti broj prostih brojeva do nekog realnog broja s jako malom greškom. Također, ako se Riemannova hipoteza pokaže istinitom, onda bi mnogi teoremi bili automatski dokazani. Na primjer, teorem o prostim brojevima daje vrlo dobru aproksimaciju broja prostih brojeva do nekog određenog broja, medutim Riemannova hipoteza nam kaže koliko je zapravo dobra ta aproksimacija. Dosad je pronađeno \(10^{13}\) takvih netrivijalnih nultočaka, stoga su mnogi uvjereni u njenu istinitost, ali zasada ona nije dokazana. Riemannova hipoteza spada među sedam velikih problema tzv. Millennium Prize Problems (jedan od tih sedam problema je riješen) i vjerojatno je jedna od najpoznatijih nedokazanih matematičkih problema današnjice. O njezinoj važnosti svjedoči i sljedeća anegdota. Naime, kad je netko pitao poznatog matematičara Davida Hilberta, što bi napravio kad bi ga tisuću godina nakon vlastite smrti probudili, on je odgovorio: ”Upitao bih - Je li Riemannova hipoteza dokazana?”

Sažetak (engleski)

The Riemann zeta function \(\zeta\), is a function of a complex variable s that analytically continues the sum of the infinite series \(\sum_{n=1}^\infty {\frac{1}{n^{s}}}\), which converges for \(\Re(s)>1\). The Riemann hypothesis, proposed by Bernhard Riemann in 1859, states that the nontrivial zeros of the Riemann zeta function all have real part 1/2. What does it mean? Its truth would guarantee the nicest possible distribution of the primes which we can predict and would immediately verify a lot of dependent theorems. For instance, the Prime Number Theorem gives a good approximation to how many primes are less than a given number, but the Riemann hypothesis is related to a conjecture about how good that approximation is. Ten trillion nontrivial zeroes have been found until now and people assume that Riemann hypothesis is true but still no one has prove it. Riemann hypothesis is one of six unsolved Millennium Prize Problems and probably the one of most famous unsolved hypothesis in mathematics. For these many reasons, when the great mathematician David Hilbert was asked what he would do if he were to be revived in a thousand years, he replied, I would ask, ”Has somebody proven the Riemann hypothesis?”

• Ključne riječi: Riemannova hipoteza; Riemannova zeta funkcija; Millenium Prize Problems
• Ključne riječi (engleski): Riemann hypothesis; Riemann zeta function; Millenium Prize Problems
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:272624
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2017-06-06 12:58:01