Wignerov teorem za slučajne matrice

diplomski rad

• Autor: Jurica Krklec
• Mentor: Vjekoslav Kovač (mentor)
• Član povjerenstva: Vjekoslav Kovač (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Mirko Primc (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Marcela Hanzer (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Bojan Basrak (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2017-09-26, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Slučajne matrice su koncept iz teorije vjerojatnosti, koji je motiviran numeričkom linearnom algebrom, teorijskom fizikom, teorijom brojeva, matematičkom statistikom i još mnogim drugim granama matematike i fizike. U ovom radu obrađuju se tzv. realne Wignerove slučajne matrice, koje su simetrične matrice s međusobno nezavisnim jednako distribuiranim elementima na dijagonali i u gornjem trokutu. Ako su \(\lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots \le \lambda_N\) svojstvene vrijednosti takve matrice, promatraju se slučajne vjerojatnosne mjere \(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \delta_{\lambda_i}\). Jedan od najklasičnijih rezultata o slučajnim matricama je Wignerov teorem, koji govori da niz takvih mjera konvergira slabo po vjerojatnosti kada \(N \to \infty\) prema polukružnoj razdiobi, tj. distribuciji s gustoćom \(\sigma(x) = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{4-x^2}\) za \(-2 \le x \le 2\). Glavni cilj ovog rada je dati elementarni dokaz tog važnog teorema.

Sažetak (engleski)

Random matrix is a term from probability theory, inspired by numerical linear algrebra, theoretical physics, number theory, mathematical statistics, and many other fields of mathematics and physics. In this thesis we consider the so-called Wigner random matrices, which are symmetric matrices with independent identically distributed diagonal elements and independent identically distributed upper triangular elements. Assuming that \(\lambda_1 \le \lambda_2 \le \cdots \le \lambda_N\) are eigenvalues of such random matrix, we consider a probability measure \(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \delta_{\lambda_i}\). Wigner's semicircle law states that this probability measure converges weakly in probability, as \(N \to \infty\), to the semicircle distribution with density \(\sigma(x) = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{4-x^2}\) for \(-2 \le x \le 2\). The main topic of this thesis is an elementary proof of this important theorem.

• Ključne riječi: slučajne matrice; realne Wignerove slučajne matrice; Wignerov teorem
• Ključne riječi (engleski): random matrix; Wigner random matrices; Wigner's semicircle law
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:564227
• Studijski program: Naziv: Matematička statistika; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra matematike (mag. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2018-02-14 10:29:17