Konveksne funkcije i njihova poopćenja u realnoj analizi

diplomski rad

• Autor: Viktor Vranar
• Mentor: Jadranka Mićić Hot (mentor)
• Mentor: Sanja Varošanec (mentor)
• Član povjerenstva: Jadranka Mićić Hot (predsjednik povjerenstva)
• Član povjerenstva: Sanja Varošanec (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Marcela Hanzer (član povjerenstva)
• Član povjerenstva: Željka Milin Šipuš (član povjerenstva)
• Ustanova koja je dodijelila akademski / stručni stupanj: Sveučilište u Zagrebu; Prirodoslovno-matematički fakultet; (Matematički odsjek); Zagreb
• Datum i država obrane: 2018-09-26, Hrvatska
• Znanstveno / umjetničko područje, polje i grana: PRIRODNE ZNANOSTI; Matematika

Sažetak

Pojam i svojstva konveksnih funkcija relativno su mladi u području matematike. Tek u 19. stoljeću danski matematičar J.L.W.V. Jensen počeo je pisati radove koji sadrže konveksne funkcije kao zasebnu ideju. Jensena zato nazivamo začetnikom toga područja. Navedimo ovdje osnovnu definiciju konveksne funkcije. Neka je $I \subseteq \mathbb{R}$ interval. Kažemo da je funkcija $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ konveksna ako za svaki izbor točaka $x, y\in I$ i svaki $t\in [0,1]$ vrijedi... Više $$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y).$$ U prvom poglavlju uveli smo pojam konveksnih funkcija te jednu ekvivalentnu karakterizaciju. Zatim smo naveli nekoliko karakterizacija konveksnih funkcija te najvažniji rezultat vezan uz konveksne funkcije- Hermite-Hadamardovu nejednakost. Pokazali smo i da je njezina lijeva nejednakost jaca od desne. Zatim smo dokazali ekvivalentnost konveksnosti i Hermite-Hadamardove nejednakosti. Vidjeli smo da cak i samo lijeva ili samo desna strana Hermite-Hadamardove nejednakosti povlače konveksnost. U drugom poglavlju bavili smo se poopćenjima pojma konveksnosti funkcije. Najprije smo uveli pojam logaritamski konveksnih funkcija te oblik Hermite-Hadamardove nejednakosti za logaritamski konveksne funkcije. Zatim smo definirali i dokazali neka svojstva i Hermite-Hadamardov tip nejednakosti za log-konveksne funkcije. Slično smo nastavili redom za ova poopćenja konveksnih funkcija: eksponencijalno konveksne funkcije, superkvadratne funkcije, preinveksne funkcije, h-konveksne funkcije, r-konveksne funkcije te naposljetku jako konveksne funkcije. Sakrij dio sažetka

Sažetak (engleski)

Definition and properties of convex functions are relatively new in mathematics. Only in 19th century a Danish mathematican J.L.W.V. Jensen started doing research and publishing works that contained convex functions as a new concept. For that reason we call Jensen the originator of this area. Let us define convex functions. Let $I \subseteq \mathbb{R}$ be an interval. We say that a function $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ is convex if for every $x, y\in I$ and every... Više $t\in [0,1]$ holds inequality $$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y).$$ : In the first chapter we’ve introduced a concept of convex functions and one equivalent statement. Then we’ve introduced few characterizations of convex functions as well as the most important result in the area, which is the Hermite-Hadamard inequality. We have also showed that its left side is stronger than its right one. We have then proved equivalence of convex and the Hermite-Hadamard inequality. We have also seen that either left or right side implies convexity. In the second chapter we have been studying generalisations of convex functions. First we have introduced a term of logarithmically convex functions. Then we have defined and proved some properties and Hermite-Hadamard type inequality for log-convex functions. We have continued in similar order for: exponentially convex functions, superquadratic functions, preinvex functions, h-convex functions, r-convex functions and, at last, strongly convex functions. Sakrij dio sažetka

• Ključne riječi: konveksne funkcije; Jensen; Hermite-Hadamardova nejednakost
• Ključne riječi (engleski): convex functions; Jensen; Hermite-Hadamard inequality
• Jezik: hrvatski
• URN:NBN: urn:nbn:hr:217:054349
• Studijski program: Naziv: Matematika; smjerovi: nastavnički; Smjer: nastavnički; Vrsta studija: sveučilišni; Stupanj studija: diplomski; Akademski / stručni naziv: magistar/magistra edukacije matematike (mag. educ. math.)
• Vrsta resursa: Tekst
• Način izrade datoteke: Izvorno digitalna
• Prava pristupa: Otvoreni pristup
• Datum i vrijeme pohrane: 2019-07-05 11:51:43